Giornate di Geometria Algebrica e argomenti correlati V 
Gargnano, 23 - 27 maggio 2000.

Elenco delle conferenze

Ogni conferenza avrà la durata di circa 40 minuti
G. Bini
Alcuni risultati sulla caratteristica di Eulero dello spazio dei moduli delle curve stabili
Abstract: sia M(g,n) lo spazio dei moduli delle curve stabili n-marcate di genere g. Grazie alle sue proprietà geometriche si possono calcolare sia la caratteristica "orbifold" di Eulero che quella ordinaria di M(g,n). In questa conferenza presentiamo alcuni metodi per il calcolo della caratteristica "orbifold" e discutiamo alcuni risultati per il calcolo di quella ordinaria fino al genere 2.
C. Brandigi
J-normalita' di varieta' proiettive di codimensione piccola
Abstract: lo studio della j-normalita' e' legato alla congettura di Hartshorne; una varieta' intersezione completa, infatti, e' j-normale per ogni j; in codimensione due, inoltre, vale anche il viceversa. E' noto che le varieta' sono j-normali per j "sufficientemente" grande; per quanto riguarda i j piccoli, in codimensione due esistono una stima quadratica dovuta a Ran e
una lineare dovuta ad Alzati e Ottaviani.
Si prova che la stima quadratica di Ran si estende in codimensione generica r con l'aggiunta di una ipotesi sulle j+1-secanti. Quando j = 2 questa ipotesi si riduce a c_{r}(N(-2)) diverso da 0.
Se la varieta' e' luogo degli zeri di una sezione di un fibrato, inoltre, si determina il grado delle j+1-secanti da un punto esterno in funzione delle classi di Chern del fibrato.
 
M. Cailotto
Sistemi differenziali logaritmici
Abstract:la teoria delle equazioni differenzia- li a punti singolari regolari (Deligne) trova la sua naturale espressione nell'ambito della geometria dei log schemi (Illusie, Fontaine, Kato), una estensione della geometria degli schemi che permette di disporre di una nozione di logaritmi per (certe) sezioni del fascio strutturale.
Si esporranno i concetti fondamentali riguar- danti le connessioni logaritmiche e i Moduli sull'anello degli operatori differenziali loga- ritmici; si tratta di linguaggi essenzialmente
equivalenti ma entrambi utili.
Facili esempi mostrano che Moduli differenziali logaritmici che siano coerenti come Moduli sul fascio strutturale dello schema non sono neces- sariamente (contrariamente al caso classico)
ne'localmente liberi, ne' privi di torsione.
Si presenteranno dei risultati di stabilita` della locale liberta` di Moduli differenziali logaritmici per operazioni geometriche, essen- zialmente l'immagine diretta derivata per morfismi log lisci, e alcune proprieta` di cambiamento di base.
A. Calabri
Sulla razionalita' dei piani multipli ciclici 
Abstract: un piano multiplo e' un rivestimento multiplo del piano proiettivo (complesso), ossia e' un morfismo finito  su P^2 di grado n, 
per un certo n. 
Un problema classico, tuttora aperto, e' quello di classificare le classi di equivalenza birazionale dei piani multipli che sono superfici razionali. 
Mostreremo la risposta a questo problema per i piani doppi e tripli ciclici e daremo qualche idea per cercare di risolvere il problema per i piani n-upli ciclici, per ogni n.
A. Canonaco
Proiezioni canoniche pesate 
di superfici di tipo generale
Abstract: una proiezione canonica pesata di una superficie minimale di tipo generale S è una mappa razionale f da S in uno spazio proiettivo
pesato di dimensione 3, determinata da quattro sezioni pluricanoniche; la proiezione si dice quasi generica se f e` un morfismo birazionale
sull'immagine (S ammette sempre una tale proiezione).
Si mostrerà che il dato di una proiezione canonica pesata quasi generica di una superficie minimale di tipo generale è equivalente al dato di una matrice simmetrica che verifichi alcune opportune condizioni. Ciò costituisce una generalizzazione di un teorema di Catanese e Schreyer, che hanno trattato il caso non pesato (cioè il caso di proiezioni in P^3).
Uno strumento essenziale per ottenere tale risultato è un'estensione del teorema di Beilinson (che, nella sua formulazione classica, fornisce una "risoluzione bilatera" di ogni fascio coerente sullo spazio proiettivo) agli spazi proiettivi pesati.
R. Chirivì
Una generalizzazione delle algebre di Hodge
Abstract: viene introdotta una generalizzazione delle algebre di Hodge alle algebre LS su poset con legami. Per questo tipo di algebre si descrive una teoria generale di deformazioni piatte. Il risultato principale e' una
applicazione alla deformazione di varieta' di Schubert a varieta' toriche.
Come conseguenza di proprieta' combinatoriche si ottiene una nuova dimostrazione della normalita' e della proprieta' di Cohen-Macaulay per le
varieta' di Schubert
T. de Fernex
Automorfismi di ordine primo di superfici algebriche con fibrato canonico negativo
Abstract: presenteremo la classificazione delle superfici proiettive liscie dotate di automor- fismi di ordine primo, insieme a una precisa descrizione di tali automorfismi, sotto la condizione che il fibrato canonico delle super- fici in esame non sia numericamente effettivo. Questo risultato estende un recente lavoro di 
L. Bayle e A. Beauville (in cui solamente gli automorfismi involutori erano considerati), e fornisce un nuovo approccio alla classificazione delle trasformazioni birazionali di ordine primo del piano proiettivo.
P. De Poi
Congruenze del primo ordine di rette di P^4
Abstract: verranno trattate le famiglie proiettive di rette dello spazio proiettivo quattro dimensionale, e in particolare le congruenze del primo ordine.
Si applicheranno le tecniche del diagramma focale di una famiglia proiettiva piatta e del calcolo di Schubert alle congruenze di rette di ordine uno.
Da ciò, verrà dedotta una classificazione (quasi) completa del caso di P^4 dal punto di vista del luogo focale della congruenza:
dopo aver classificato tutti i casi in cui il luogo fondamentale è - insiemisticamente - un piano, verranno studiati i quattro casi
corrispondenti ai possibili spezzamenti del luogo fondamentale puro (cioè senza piani parassiti). Useremo diffusamente la classificazione delle superficie lisce di P^4 di grado basso per ottenere una lista (quasi) completa.
C. Dionisi
Risoluzione minimale dei fibrati vettoriali stabili generici in P^2
Abstract: dallo studio delle risoluzioni minimali dei fibrati stabili in P^2 si riesce ad ottenere una semplice dimostrazione dell'irriducibilita' dei loro spazi di moduli, a dare esplicitamente la risoluzione del generico
per ogni rango e classi di Chern assegnate e quindi a fornire delle stime ottimali sia sulla regolarita' dei fibrati stabili in P^2 che sulla loro coomologia.
I risultati sono stati ottenuti in collaborazione con M.Maggesi e sono
disponibili su arXiv. math.AG/0002169
M. R. Ferraro
Tecniche per la classificazione delle curve C contenute in P^n di genere aritmetico massimo
G(n, d, s)
Abstract: curve proiettive C in P^n ridotte irriducibili, non degeneri, di grado d e che non sono contenute in nessuna superficie di grado minore a un dato grado s, hanno genere aritmetico superiormente limitato da una funzione G(n, d, s) di n, d ed s.
La classificazione delle curve estremali e'stata fatta per n=3 da Halphen, per n=4 da Chiantini-Ciliberto e per n=5 da Ferraro.
In questo seminario voglio esporre le tecniche usate per la classificazione delle curve estremali in P^5, generalizzate al caso di
dimensione n qualsiasi, evidenziando come tali tecniche possano essere usate per l'analoga classificazione in P^n.
Tali tecniche consistono:
1) nello sviluppo di una teoria dell'intersezione (non lineare) su scrolls
razionali normali singolari in P^n il cui vertice ha codimensione minima = 2,tramite la
quale si puo' determinare il grado dello schema intersezione di due divisori di Weil senza componenti a comune;
2) risultati di liaison tramite un'intersezione completa su superficie e 3-folds razionali normali singolari in P^n. 
F. Flamini
Famiglie di curve nodali 
su superficie algebriche
Abstract: data S una superfice liscia, proietti- va e considerato |D| un sistema lineare completo su S, per ogni intero non-negativo d si denoti con V(|D|, d) il sottoschema localmente chiuso che, se non vuoto, parametrizza una famiglia universale di curve ridotte ed irriducibili con d nodi come uniche singolarita' (la varieta' di Severi). Le problematiche affrontate riguardano proprieta' di non-singolarita' e dimensione di tali varieta' di Severi nonche' lo studio del comportamento, dal punto di vista dei moduli,
degli elementi che esse parametrizzano. 
In particolar modo, ci si e' focalizzati su superficie di tipo generale dato che per esse molto meno e' noto rispetto a cio' che e' stato dimostrato.
Utilizzando tecniche di fibrati Bogomolov- -instabili su S, si determinano condizioni puramente numeriche, sulla classe dei divisori e sul numero dei nodi, le quali assicurano che la corrispondente varieta' V(|D|,d) e' ovunque liscia e della dimensione aspettata (in breve, regolare). Con tecniche analoghe, nei casi in cui S in P^r e' liscia, di tipo generale e
regolare si determinano condizioni sulla classe dei divisori D che implicano che il morfismo funtoriale nello spazio dei moduli di curve di
genere g = p_a(D) - d e' finito sulle componenti (genericamente) regolari di V(|D|, d).
A. Laface
Sistemi lineari con punti base 
di molteplicità assegnata
Abstract: si considera il problema del calcolo della dimensione di un sistema lineare avente n punti fissi di molteplicità assegnata. Si studia
il problema sul piano proiettivo complesso e sulle rigate razionali minimali.
 
G. La Nave
Spazi di moduli di superficie 
ellittiche con sezioni
Abstract: data una superficie ellittica con sezione su una curva liscia, si dispone in modo naturale di una mappa regolare della superficie nello spazio dei moduli delle curve ellittiche con un punto marcato. Seguendo D. Abramovich e A. Vistoli, si puo' costruire uno stack proprio di Deligne-Mumford parametrizzante mappe stabili da uno stack 1-dimensionale allo stack delle curve di dato genere e con punti marcati.
Usando questa costruzione, dimostriamo un teorema di riduzione semistabile per coppie (X,Q), ove X e' una superficie tale che: 
1) X ha al piu' singolarita' semi-log-canoniche;
2) X ammette una mappa su una curva stabile C fibrata genericamente in curve stabili di genere
aritmetico 1; 
3) X e'una deformazione di superficie con soli punti doppi come singolarita'.
Infatti forniamo una descrizione esplicita di ogni passo del Minimal Model Program applicato ad una famiglia ad un parametro, e una altret- tanto esplicita descrizione delle superficie che si ottengono al limite.
M. Lattarulo
Sull'immagine della mappa di Torelli reale
Abstract: la mappa di Torelli reale di ordine g è la mappa dallo spazio dei moduli delle curve reali di genere g allo spazio dei moduli delle varietà abeliane p.p. reali di dimensione g, che associa alla classe d'isomorfismo di una curva reale la classe d'isomorfismo della sua jacobiana reale.
Per g >1 tale mappa è iniettiva ma non suriettiva; il problema di caratterizzarne l'immagine è l'analogo, nel caso reale, del
noto "problema di Schottky per le curve complesse".
Considereremo tale problema, mostrando le principali differenze fra il caso reale ed il caso complesso. In particolare, mentre su C il problema è "banale" per g < 4, su R esso è "interessante" già per g = 2, caso che illustreremo dettagliatamente.
Faremo infine alcune considerazioni relative al caso delle curve reali iperellittiche.
G. Lombardo
Varietà di Kuga-Satake 
e varietà abeliane di tipo Weil
Abstract: utilizzando la costruzione di Kuga e Satake si possono associare varietà abeliane a strutture di Hodge V di tipo K3: scopo della conferenza è analizzare le corrispondenze tra varietà abeliane di tipo Weil e varietà di Kuga-Satake, studiandole in dettaglio nel caso di un fourfold abeliano di tipo Weil (studio del secondo gruppo di coomologia del fourfold e sua
decomposizione in sottostrutture di Hodge semplici, individuazione di una sottostruttura di tipo K3, costruzione di una varietà di Kuga-Satake ed analisi del legame di questa con il fourfold di partenza) ed in generale quando
dim(V) è congrua a 2 mod 4.
Inoltre, per dim(V) = 6,7,8, utilizzando strumenti di teoria delle rappresentazioni, è possibile ottenere informazioni sui cicli di Hodge delle varietà abeliane semplici in cui la varietà di Kuga-Satake si decompone.
 
M. Maggesi
Anello di coomologia quantistica di fibrati
proiettivizzati sugli spazi proiettivi
Abstract: verra' data una presentazione esplicita con generatori e relazioni dell'anello di coomologia quantistica di alcune varietà realizzabili come fibrati proiettivizzati sugli
spazi proiettivi. In particolare, saranno considerate alcune varietà di Fano di dimensione 3 e gli scoppiamenti dello spazio proiettivo lungo un sottospazio lineare.
 
S. Manfredini
Rivestimenti generici ramificati su x^n=y^m.
Abstract: 
- condizioni di esistnza e unicità per rivestimenti generici affini ramificati su curve del tipo x^n=y^m attraverso lo studio dei grafi
di monodromia nei casi (n,m)=1 e per alcuni tipi di grafi di monodromia;
- studio del gruppo fondamentale locale del rivestimento;
- congettura di Chisini.
G. Occhetta
Deformazioni di curve 
e fibre di contrazioni estremali
Abstract: una caratteristica fondamentale di una contrazione estremale è l'esistenza di curve razionali nelle sue fibre, come provato da Mori. Un passo fondamentale della dimostrazione di Mori è costituito dalle tecniche di "Bend- and-break": se una curva di genere positivo si deforma con un punto fisso, allora si deve spezzare con almeno una componente razionale, e pure si deve spezzare una curva razionale che si deforma con due punti fissi.
Illustreremo come sia possibile utilizzare queste tecniche per provare l'esistenza di curve razionali ětrasverseî nelle fibre di contrazioni
estremali da varietà lisce, e per costruire su tali fibre famiglie di curve razionali non spezzanti.
Mostreremo inoltre come questo duplice approccio permetta di classificare le fibre di particolari classi di contrazioni estremali, e utilizzeremo tale classificazione per lo studio di contrazioni piccole.
G. Pacienza
Curve razionali su ipersuperfici 
proiettive generiche
Abstract: migliorando un precedente risultato di Clemens e Ein, Voisin dimostra che la generica ipersuperficie di grado d in P^n non contiene curve razionali se d>2n-3, n>3, e ne contiene un numero finito di grado r, per ogni intero r>0 fissato, se d=2n-3 ed n>4. E' quindi naturale porre la seguente domanda: quante curve razionali di grado r vi sono sulla generica ipersuperficie X_{2n-3} di P^n, con n>4?
Analizzando con tecniche di teoria di Hodge e coomologia di Koszul il luogo base di un fibrato definito sulla ipersuperficie universale che interviene in modo naturale nello studio di tale problema, si dimostra che se X_d e` una ipersuperficie generica di grado d=2n-2-k in P^n, con 0<k<n-4, ed Y una sua sottovarieta` k-dimensionale di genere geometrico nullo,
allora Y deve coincidere con una componente della sottovarieta` (k-dimensionale) di X_d coperta dalle rette.
Poiche' il numero delle rette e` facilmente calcolabile, prendendo k=1 otteniamo dunque, per n>5, la risposta completa alla precedente questione, dimostrando in particolare che sulla generica X_{2n-3} in P^n non vi sono curve razionali di grado r>1. 
R. Pignatelli
Fibrazioni di genere basso e superfici numericamente di Godeaux
Abstract: nella teoria delle superfici algebriche complesse, le fibrazioni sono un argomento oggetto di vasto studio e in cui moltissimi sono i problemi aperti.
Le fibrazioni di genere 2, grazie a risultati
di Horikawa, Ueno ed altri, sono "relativamente" ben comprese (benchè vi sia ancora molto da risolvere); in genere più alto i problemi sono molto superiori.
Nel seminario si descriverà una strategia di studio delle fibrazioni di genere basso, e alcuni risultati di "permanenza" (in genere 3 e 4, nel caso in cui la generica fibra non sia iperellittica), che rendono possibile calcolare equazioni e singolarità per un fissato modello birazionale della superficie.
Mediante tale strategia si è affrontato lo studio dello spazio dei moduli delle superfici numericamente di Godeaux con torsione zero, ossia delle superfici minimali di tipo generale con i valori minimi possibili degli invarianti (K^2=1, p_g=0, Tors=0). Si racconterà la
descrizione dello spazio dei moduli ottenuta.
I risultati descritti sono frutto di lavoro congiunto con il Prof. F. Catanese.
M. Polito
Relazioni tautologiche in H*(M(g,n)) 
Abstract: sia M(g,n) lo spazio dei moduli delle curve algebriche proiettive complesse stabili di genere g, con n punti marcati. Si consideri il sottoanello dell'anello di coomologia a coeffi- cienti razionali generato dalle cosiddette "classi tautologiche". 
Scopo di questa conferenza è la descrizione di alcuni dei metodi utilizzati per ottenere 
le relazioni che legano tali classi, con particolare riferimento alle relazioni in 
H^4(M(g,n)).
F. Tonoli
Superfici canoniche in P^5
e 3-folds di Calabi-Yau in P^6
Abstract: si illustra come generalizzare a varietà proiettive sottocanoniche di codimen- sione 3 il metodo introdotto da Decker, Ein, e Schreyer nel 1993 per costruire superfici in P^4. 
Si mostra inoltre come una analisi dettagliata 
sulla varietà delle sizigie di rango 1 chiarisca la situazione nel caso delle 3-folds di Calabi-Yau di grado 17 e fornisca un metodo geometrico per costruire le stesse. 
Questa costruzione fornisce tre famiglie unirazionali di varietà di Calabi-Yau tridimensionali di grado 17 lisce in P^6, 
che dominano tre componenti dello schema di Hilbert. 
L. Ugaglia
Proiezione di sottovarietà delle Grassmanniane
Abstract: studieremo le sottovarietà n-dimensionali della G(1,n+3) (Grassmanniana
delle rette di P^(n+3)) che si possono proiettare nella G(1,n+1), utilizzando un analogo della varietà delle secanti.
M. Valenzano
          Fasci riflessivi di rango 2 
su un threefold non singolare
Abstract: si considerano i fasci riflessivi, in particolare i fibrati vettoriali, di rango 2 su una varietà algebrica proiettiva tridimensionale non singolare, generalizzando alcuni noti risultati validi per fasci riflessivi di rango 2 sullo spazio proiettivo tridimensionale.
G. Vezzosi
K-teoria superiore per azioni 
con stabilizzatori finiti
Abstract: illustriamo le idee principali della dimostrazione di un teorema di decomposizione della K-teoria equivariante per l'azione con
stabilizzatori finiti di un gruppo affine di tipo finito su un campo sopra uno spazio algebrico regolare, noetheriano e separato; richiediamo inoltre che l'azione sia "sufficientemente" razionale e soddisfi una condizione tecnica verificata, per esempio, se il gruppo e' abeliano o liscio. 

[preprint n. 377 nell'archivio http://www.math.uiuc.edu/K-theory/
oppure math.AG/9912155]

G. Zappalà
Schemi aritmeticamente Gorenstein
3-codimensionali
Abstract: si studiano alcune proprietà dei sottoschemi aritmeticamente Gorenstein 3-codimensionali dello spazio proiettivo, utilizzando,principalmente, il potente teorema di struttura di Buchsbaum ed Eisenbud.
In particolare, si indaga come alcune proprietà geometriche (quali l'irriducibilità o la "genericità") della ipersuperficie di grado minimo contenente tali schemi influenzi la loro funzione di Hilbert ed i loro numeri di Betti graduati.
Infine si determinano condizioni sotto le quali un sottoschema aritmeticamnte Gorenstein 3-codimensionale è intersezione di due schemi aritmeticamente Cohen-Macaulay 2-codimensionali legati in un'intersezione completa.

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