1. Preliminari. Insiemi. Numeri reali. Operazioni ed ordinamento in R. Insiemi di numeri reali limitati od illimitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Intervalli. Distanza. Funzioni reali di variabile reale, grafico, dominio, immagine. Iniettività. Composizione di funzioni. Operazioni sui diagrammi: traslazioni, simmetrie. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremi superiori e inferiori di funzioni. Segno e zeri di una funzione.
Ref: Arg.1 di Matematica Assistita.

2. Funzioni elementari. Modulo. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale. Le funzioni potenza e le funzioni esponenziali. Le funzioni logaritmiche. Le funzioni trigonometriche. Disequazioni algebriche di secondo grado, razionali fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche. Sistemi di disequazioni.
Rif: Arg.2 di Matematica Assistita.

3. Limiti e funzioni continue. Distanza ed intorni, intorni destri ed intorni sinistri. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Limiti elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Teorema del confronto. Alcune forme indeterminate. Confronto tra infiniti. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass.
Rif: Arg.3,4,5 di Matematica Assistita.

4. Derivate. Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Retta tangente al grafico. Funzione derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, composta, inversa. Derivabilità e continuità. Punti di massimo e minimo relativi. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni derivabili con derivata nulla, funzioni derivabili con uguale derivata, segno della derivata prima ed intervalli di monotonia della funzione. Ricerca di punti di massimo o minimo relativo attraverso il segno della derivata. Derivata seconda, suo segno e convessità. Studio qualitativo del grafico di una funzione. Cenni alle derivate successive.
Rif: Arg.6,7 di Matematica Assistita.

5. Integrali. Funzioni primitive (integrali indefiniti). Integrali elementari. Integrali definiti. Aree. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Rif: Arg.8,9 di Matematica Assistita.

Riferimenti Bibliografici
In rete:  Progetto Matematica Assistita.
V.Villani: Matematica per discipline bio-mediche, ed. McGraw-Hill, 2007, IV ediz.
A.Guerraggio: Matematica, ed. Mondadori, 2004.  (In particolare i capitoli 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13,  15, 16.).
D. Benedetto - M. Degli Esposti - C. Maffei: Matematica per le scienzze della vita, ed. Casa Ed. Ambrosiana, 2012.

Tale materiale è estratto dal progetto "Matematica Assistita" preparato da calcuni colleghi del Dipartimento di Matematica negli scorsi anni.

Tutto il materiale dell'intero progetto si trova sul portale Ariel dei corsi on-line dell'Università di Milano
(a cura del CTU) all'indirizzo

http://ariel.ctu.unimi.it/corsi/mateassistita

dove si trovano anche le indicazioni circa il copyright di tale produzione.

Il materiale proposto può essere scaricato e stampato, ma è stato pensato per essere usato sul proprio computer: infatti una volta ridotto in formato cartaceo si perdono tutti i link (tra i vari argomenti e tra esercizi, teoria e soluzioni) che dovrebbero aiutare lo studente ad orientarsi più velocemente nella soluzione degli esercizi e nel trovare i convenienti richiami teorici.
Tutti i file di testo sono in versione pdf.
Per poterli leggere è necessario usare  Acrobat Reader     (versione 5.0 o superiore).
 
 

Generalità.
L'esame del modulo di Fondamenti di Matematica è solo scritto.
Durante la prova non è consentito consultare appunti, libri o altro, nè far uso di apparecchiature elettroniche (calcolatrici, cellulari, ecc.).

Calendario.
Per i moduli di Fondamenti e Approfondimenti vi saranno almeno 6 appelli nel corso dell'a.a.
I due esami scritti si terranno negli stessi giorni, nelle stesse aule, con lo stesso orario d'inizio,
ma con testi diversi.
Da ottobre 2013 in poi ogni studente, nel corso di un appello, potrà sostenere o l'esame del modulo di Fond. Mat. oppure quello del modulo di App. Mat. (se previsto dal proprio corso degli studi), ma non entrambi, a meno che non scelgano l'opzione sotto indicata.
ATTENZIONE:  gli studenti che devono ancora sostenere sia la prova di Fond. Mat. che la prova di App. Mat. a partire da gennaio 2015, potranno scegliere di sostenere, in alternativa alle due prove in appelli separati, la prova d'esame del nuovo corso di Matematica da 6 cfu. Basterà avvisare i docenti il giorno dell'esame. Il voto conseguito sarà attribuito ad entrambi i moduli del vecchio Ordinamento.
DOPPIA ATTENZIONE: a partire dal febbraio 2015 gli appelli regolari dei CDL in Biotecnologie del Vecchio Ordinamento sono finiti. I docenti di Matematica garantiscono la presenza delle prove del modulo di Fond. Mat. e di quello di App. Mat. (si veda sopra) in contemporanea con gli appelli del corso di Matematica da 6 cfu del Nuovo Ordinamento, ma per avere informazioni sulle prove dei moduli di Informatica e di Statistica (per i CDL che li prevedono) gli studenti devono rivolgersi alle segreterie dei rispettivi CDL.
Data la situazione, non è detto che tali prove vengano tenute in corrispondenza di ogni appello del corso di Matematica del Nuovo Ordinamento, nè che gli esiti di tali prove siano comunicati regolarmente ai docenti di Matematica, incaricati delle verbalizzazioni finali. Tali verbalizzazioni si svolgeranno, quindi, in tempi imprevedibili.
Chi avesse necessità di una verbalizzazione effettuata entro una data prefissata è pregato di contattare il docente della propria linea, indicando il proprio problema, e di iscriversi comunque per tempo agli appelli dei moduli di Fond. e App. Mat.
NEWS (18-2-15): per la prova di Informatica gli studenti possono far riferimento alla prof. R. Lanzarotti (Dip. di Informatica) almeno fino a settembre 2015; sono stati predisposti altri 3 appelli, nelle seguenti date indicative:  26-2; 9-7; 17-9.
NEWS (18-6-15):  per la prova di Statistica, gli studenti del corso di laurea E16 (biotec. far.) devono far riferimento alla prof. Emma De Fabiani; di massima, le prove si svolgeranno nelle stesse ore e nelle stesse aule di quelle di Fond. Mat. e App. Mat.
NEWS (28-1-16):  per la prova di Informatica gli studenti possono ancora far riferimento alla prof. R. Lanzarotti (Dip. di Informatica). Ci sarà un appello il giorno 22-2-16.
NEWS (26-4-16):  per la prova di Informatica gli studenti possono ancora far riferimento alla prof. R. Lanzarotti (Dip. di Informatica). Probabilmente ci sarà un appello il giorno 14-7-16.
NEWS (22-2-17):  per la prova di Informatica gli studenti possono ancora far riferimento alla prof. R. Lanzarotti (Dip. di Informatica). Probabilmente ci sarà un appello il giorno 13-7-17.
NEWS (19-7-17):  per la prova di Informatica gli studenti possono ancora far riferimento alla prof. R. Lanzarotti (Dip. di Informatica). Probabilmente ci sarà un appello il giorno 21-9-17.

Da gennaio 2015 in poi, per tutte le linee, gli appelli seguiranno il calendario degli appelli del nuovo corso di Matematica da 6 cfu, si svolgeranno negli stessi giorni, negli stessi orari e nelle aule che saranno indicate di volta in volta, ovviamente con testi diversi. Gli studenti sono quindi pregati di informarsi sulle date dei suddetti appelli.

ATTENZIONE:gli studenti delle vecchie linee 1 e 3 dovranno recarsi nell'aula dove si sosterrà l'esame per la linea 1 del nuovo corso da 6 cfu (prof. Verdi).
Gli studenti della vecchia linea 2 e coloro che devono sostenere la prova del modulo di App. Mat dovranno recarsi nell'aula dove si sosterrà l'esame per la linea 2 del nuovo corso da 6 cfu (prof. Alzati e Colombo).

Iscrizioni agli appelli.
Ogni studente che intende sostenere l'esame del modulo di Fond. Mat. e/o di Appr. Mat. e/o dell'intero corso di Matematica ed Informatica di base o Matematica, Statistica e Informatica, da 9 cfu o da 6 cfu in base al CDL di appartenenza, DEVE iscriversi ad uno degli appelli, tramite il sistema SIFA. Per ulteriori informazioni rivolgersi alla segr. studenti. Le iscrizioni di norma si chiudono 3 giorni prima della data degli appelli.
L'iscrizione ad un appello, per via elettronica tramite il sistema SIFA, usando uno dei terminali messi a disposizione dall'Ateneo, è NECESSARIA per poter sostenere l'esame di Fond. Mat. e/o di Appr. Mat. in quell'appello e anche per farsi verbalizare l'esito dell'esame complessivo del corso e non è valida per gli appelli successivi.

Verbalizzazioni finali (si veda l'avviso DOPPIA ATTENZIONE in precedenza)
Dopo lo svolgimento della prova scritta del modulo di Fond. Mat. e Appr. Mat. il registro elettronico relativo sarà tenuto aperto per alcune settimane e sarà chiuso comunque prima della data dell'appello successivo.
Durante tale periodo di tempo saranno possibili le verbalizzazioni finali.
Verranno verbalizzati gli esiti finali degli studenti per cui si verificano tutte le situazioni a), b), c) qui elencate:
a) avranno superato la prova scritta del modulo di Fond. Mat. in quell'appello,
b) avranno superato la prova scritta del modulo di Appr. Mat., se prevista dal loro CDL,
c) avranno superato le prove d'esame degli altri moduli previsti dal loro CDL
e i relativi docenti avranno comunicato gli esiti positivi in tempo utile.
Nel corso della verbalizzazione ad ogni studente verrà assegnato il voto finale relativo al corso (integrato) di Matematica ed Informatica di base, o Matematica, Statistica e Informatica, da 9 cfu o da 6 cfu in base al CDL di appartenenza; tale voto sarà la media aritmetica dei tre voti (o dei due voti) ottenuti dallo studente mediante il superamento dei tre (o dei due) moduli che gli competono.
Dopo la verbalizzazione verrà inviato un messaggio E-mail ad ogni studente, comprensivo del voto, ed ogni studente avrà un certo periodo di tempo per accettarlo o rifiutarlo. Per ulteriori informazioni rivolgersi alla segr. studenti. Nel caso il voto venisse rifiutato lo studente dovrà ripetere l'intero esame, da 9 cfu o da 6 cfu in base al CDL di appartenenza.

Nel caso uno studente avesse superato positivamente gli esami di tutti i moduli che gli competono, ma gli esiti positivi di alcuni di essi non fossero pervenuti in tempo utile per la verbalizzazione relativa ad un certo appello, ossia prima della chiusura del relativo registro elettronico, per tale studente la verbalizzazione sarà effettuata nell'appello successivo, ma lo studente dovrà iscriversi all'appello successivo, altrimenti non sarà possibile procedere alla verbalizzazione del suo voto finale, e attendere semplicemente l'arrivo del messaggio E-mail.

1) NON è più necessario iscriversi via SIFA.

News del 19-6-17: volendo è di nuovo possibile iscriversi via SIFA (eccetto per il vecchissimo ord Bio 15).

2) Occorre presentarsi nei luoghi e negli orari in cui si svolgono gli esami del corso di Matematica (da 6 cfu) del CDL in Biotecnologia K06. Tali informazioni sono inserite in rete al sito del corso K06, in alternativa ci si può informarsi presso le segreterie o consultare queste pagine web nella parte relativa al quel CDL.

3) Gli studenti delle vecchie linee 1 e 3 dovranno recarsi nell'aula dove si sosterrà l'esame per la linea 1 del nuovo corso da 6 cfu (prof. Verdi).
Gli studenti della vecchia linea 2 e coloro che devono sostenere la prova del modulo di App. Mat dovranno recarsi nell'aula dove si sosterrà l'esame per la linea 2 del nuovo corso da 6 cfu (prof. Alzati e Colombo).

4) E' opportuno (ma non necessario) avvisare i docenti, via E-mail, della propria presenza ad un certo appello e delle prove che si intendono sostenere.

5) I testi delle prove saranno "ritagliati" dai testi della prova di Matematica del CDL K06, quindi non esisteranno più temi specifici.

6) Chi deve sostenere anche (o solamente) le prove di Informatica e Statistica deve rivolgersi personalmente ai docenti, rispettivamente: prof. Raffaella Lanzarotti, prof. Emma De Fabiani, e prendere accordi con loro.

Gli esiti delle prove di Informatica e Statistica verranno comunicati ai docenti di Matematica dopo il loro svolgimento. Quando uno studente avrà superato tutte le tre (o due) prove relative ai corsi di di Matematica ed Informatica di base, o Matematica, Statistica e Informatica, da 9 cfu o da 6 cfu in base al CDL di appartenenza, il suo voto finale (media delle votazioni riportate nelle tre (o due) prove) verrà verbalizzato

- o aprendo a posteriori un appello di sola verbalizzazione

- o usando l'iscrizione via Sifa, se presente

- o per via cartacea.

Tale procedimento avverrà sporadicamente, salvo richieste specifiche per problemi di lauree e comunque solo dopo che ai docenti di Matematica saranno pervenuti gli esiti delle altre prove.
Per ulteriori informazioni rivolgersi alla segr. studenti. Nel caso il voto venisse rifiutato lo studente dovrà ripetere l'intero esame, da 9 cfu o da 6 cfu in base al CDL di appartenenza.
 
 

E' pervenuta, da parte di alcuni studenti, la richiesta di una dichiarazione firmata che attesti il superamento della prova finale del singolo modulo di Fond. Mat. del corso "Matematica ed Informatica di base" , ai fini di un eventuale riconoscimento in caso di trasferimento presso altri CDL.
Benchè rilasciare una simile dichiarazione, veritiera, sia lecito, tuttavia non sarà possibile farlo, in forza della seguente decisione assunta nel corso della seduta del CDD di Biotec. Ind. e Amb. del 18-12-12, dove la questione è stata esaminata a fondo.
Il CDD ha stabilito che:
- ferma restando la possibilità per uno studente di acquisire 9 cfu (o 6 cfu a seconda del suo CDL), superando l'esame del corso di "Matematica ed Informatica di base" e verbalizzando il relativo voto, ai fini di farsi riconoscere tali cfu dopo un eventuale trasferimento;
- i docenti dei vari moduli del corso non possono rilasciare dichiarazioni attestanti il superamento della prova finale di singoli moduli del corso.

In merito alla suddetta questione si è espresso nello stesso modo anche il gruppo di coordinamento delle lezioni del I anno per i 5 CDL di Biotec.  e quindi occorre attenersi ad essa.

Per comodità degli studenti si riportano qui di seguito le copie di alcuni recenti temi d'esame:

prova d'esonero 2011
gennaio 2012
febbraio I 2012
febbraio II 2012
giugno 2012
luglio 2012
settembre 2012
prova d'esonero 2012
gennaio 2013
febbraio I 2013
febbraio II 2013
giugno 2013
luglio 2013
settembre 2013
novembre 2013
prova d'esonero 2013
gennaio 2014
febbraio I 2014
febbraio II 2014
giugno 2014
luglio 2014
settembre 2014
novembre 2014
gennaio 2015
febbraio I 2015
febbraio II 2015
giugno 2015
luglio 2015
settembre 2015
novembre 2015
gennaio 2016
febbraio I 2016
febbraio II 2016
giugno 2016
luglio 2016
settembre 2016 (ultimo)

Altri temi d'esame si possono reperire a questo indirizzo.