Fisica Matematica 3

Proff. Dario Bambusi e Andrea Carati

ESERCIZI D'ESAME (25/1/12: nuova versione con alcune correzioni)


Il corso e' incentrato su due argomenti fondamentali della Fisica Matematica: sistemi hamiltoniani, meccanica quantistica.


Prima parte: sistemi hamiltoniani. La teoria dei sistemi Hamiltoniani fornisce una serie di metodi estremamente potenti per lo studio della dinamica dei sistemi conservativi. Alcuni dei risultati elementari piu' significativi in tale ambito sono (1) il teorema di Liouville secondo cui, se di un sistema si conoscono un numero sufficiente di costanti del moto, e' possibile scrivere una formula per le sue soluzioni e (2) i risultati di corrispondenza tra costanti del moto e simetrie del sistema, che permettono di trovare esplicitamente costanti del moto dei sistemi. La formulazione Hamiltoniana della meccanica e' anche fondamentale per la meccanica quantistica: per quantizzare un sistema si deve prima costruirne la "Hamiltoniana classica" e poi trasformare tale oggetto, tramite un procedimento algoritmico, nella "Hamiltoniana Quantistica" del sistema.

Programma della prima parte.

Deduzione delle equazioni di Hamilton per un sistema Lagrangiano; gruppo di invarianza delle equazioni di Hamilton e caratterizzazione delle trasformazioni canoniche; funzioni generatrici di trasformazioni canoniche; canonicita' del flusso hamiltoniano; teorema di Liouville e variabili angolo azione; relazioni tra simmetrie e costanti del moto, equazione di Hamilton Jacobi.

Seconda parte: meccanica quantistica (parte principale del corso). All'inizio del ventesimo secolo una serie di esperimenti e di considerazioni teoriche ha messo in crisi la visione classica della fisica ed ha in particolare messo in evidenza la coesistenza di aspetti ondulatori e aspetti particellari della materia; la meccanica quantistica e' la teoria che  permette di spiegare tale fenomeni e di risolvere i paradossi teorici legati alla precedente descrizione del mondo. D'altra parte la meccanica quantistica costringe ad una profonda revisione della visione classica del mondo, in quanto si basa su una descrizione intrinsecamente probabilistica della natura. La meccanica quantistica prevede anche l'esistenza di fenomeni nuovi ed alquanto sorprendenti (l'effetto tunnel, tanto per citarne uno). In meccanica quantistica la dinamica di un qualsiasi sistema fisico e' descritta dall'equazioni di Schroedinger, che viene a sostituire le classiche equazioni di Newton.

Programma della seconda parte.

Fenomeni ondulatori e propagazione delle onde. Crisi della meccanica classica e introduzione del quanto d'azione: modello atomico di Rutherford e sue difficolta', quanto d'azione di Planck, effetto fotoelettrico, atomo di Bohr, formula di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld. Aspetti ondilatori e corpuscolari della materia, onde di De Broglie. Deduzione dell'equazione di Schroedinger. Proprieta' generali dell'equazione di Schroedinger, l'operatore hamiltoniano. Applicazioni dell'equazione di Schroedinger: problemi unidimensionali (particella sulla retta, buca di potenziale, effetto tunnel, oscillatore armonico), problemi tridimensionali (atomo d'idrogeno, impostazione). Formulazione generale della meccanica quantistica (postulati generali, regole di commutazione e principio di indeterminazione). Teoria generale del momento angolare e lo spin.


Il principale testo di riferimento e'

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