Sistemi Hamiltoniani 1
Dario Bambusi (modulo da 6 crediti), Andrea Carati (modulo da 3 crediti)
Modulo principale (6 crediti).
Il corso verte principalmente sulla teoria della forma normale di
sistemi Hamiltoniani, in particolare per equazioni a derivate parziali
Hamiltoniane.
1. Sistemi Hamiltoniani finito dimensionali.
1.1 Definizione, forma Hamiltoniana delle equazioni di Lagrange.
1.2 Trasformazioni canoniche: definizione e prime caratterizzazioni,
condizione di Lie, esempi, trasformazioni puntuali estese,
trasformazioni prossime all'identita'.
1.3 Parentesi di Poisson, simmetrie e quantita' conservate
1.4 Teorema di Arnold Liouville, variabili angolo azione.
1.5 Sistemi hamiltniani in prossimita' dei punti d'equilibrio: linearizzazione, forma normale delle hamiltoniane quadratiche.
1.6 Forma normale di Birkhoff: il teorema di forma normale, costanti del moto approssimate, sistemi risonanti, battimenti nei sistemi risonanti.
2. Equazioni a derivate parziali: nozioni di base
2.1 Alcune nozioni di base. Spazi di successioni (l^2_s). Esistenza di semigruppi per operatori lineari diagonali. Alcune immerisoni di Sobolev, esistenza ed unicita' per equazioni semilineari.
2.2 Formalismo Hamiltoniano per alcune equazioni a derivate parziali, definizioni di base. Esempio dell'equazione delle onde e dell'equazione KdV. Forma delle equazioni in coordinate canoniche.
3. Forma normale per equazioni a derivate parziali completamente risonanti.
3.1 Il problema della forma normale in sistemi infinito dimensionali,
trasformata di Lie generata da Hamiltoniane con campi regolari,
soluzione dell'equazione homologica nel caso di sistemi semilineari.
Forma normale per sistemi completamente risonanti.
3.2 Uso della forma normale nell'equazione delle onde: ricerca di
orbite periodiche. Costruzione di soluzioni periodiche nel sistema
mediato e nel sistema in forma normale. Dimostrazione della stabilita'
su tempi lunghi delle orbite periodiche del sistema mediato.
4 Forma normale per equazioni semilineari non risonanti:
4.1 il problema, la proprieta' di modulo Tame. Stabilita' della
proprieta' sotto parentesi di Poisson, sotto trasformata di Lie e sotto
soluzione dell'equazione homologica. Teorema di forma normale e
dimostrazione. Misura dell'insieme dei potenziali con frequenza non
risonante.
Alcuni riferimenti aggiuntivi (e' tutto materiale molto preliminare)
Sul formalismo Hamiltoniano per sistemi infinito dimensionali
Un teorema di persistenza per punti critici non degeneri utile al punto 3.2
Modulo di laboratiorio (3 crediti)
Il modulo di laboratori vertera' sul problema della costruzione di
algortimi adatti a integrare equazioni differenziali Hamiltoniane.
L'obiettivo e' quello di scrivere un programma di integrazione per
alcuni semplici sistemi Hamiltoniani che ne rispettino la struttura e
che quindi siano particolarmente stabili. Dopo aver studiato il caso di
equazioni differenziali ordinarie si passera' allo studio di alcune
equazioni a derivate parziali. Ci si propone di scrivere un
programma di integrazione per alcune equazioni rilevanti.
Per ulteriori informazioni potete contattarmi allo 02/ 50316139, oppure
a dario.bambusi at unimi.it