Sistemi dinamici 1
Ordine e caos nei sistemi deterministici

Prof. Dario Bambusi

Argomenti da sapere per l'esame

L'esame e' su appuntamento. Gli interessati sono pregati di iscrivervi sul sifa al primo appello disponibile per rendere possibile la verbalizzazione.

Presentazione del corso


La teoria dei sistemi dinamici, sviluppata a partire dalle intuizioni di Poincare', ha messo in evidenza la coesistenza di comportamenti ordinati e comportamenti caotici in quasi ogni sistema di interesse fisico o matematico.

Due dei principali strumenti utilizzati per studiare la dinamica di tali sistemi sono la teoria della forma normale e la teoria dei sistemi iperbolici. Un ulteriore capitolo importante della teoria dei sistemi dinamici e' costituito dalla teoria di Poicare' delle orbite periodiche.
Il corso si propone di illustrare alcuni metodi e risultati di tali teorie.


Prima parte: caos

L'obbiettivo di questa parte del corso e' quello di dare una spegazione ed una descrizione matematicamente rigorosa dei fenomeni caotici legati all'esistenza di intersezioni omocline. In particolare si arrivera' a dimostrare che un pendolo debolmente forzato presenta moti caotici. I dettagli sono indicati sotto.

  1. Teorema della varieta' stabile. Esistenza e regolarita' della varieta' stabile nell'intorno di un punto d'equilibrio iperbolico; prolungamento. Il problema del comportamento globale della varieta' stabile. Intersezioni omocline (cioe' intersezioni tra varieta' stabile e varieta' instabile). La dinamica caotica come descritta da Poincare'.
  2. Insiemi iperbolici e comportamento caotico. Definizione di insieme iperbolico ed esempi elementari (gatto di Arnold, trasformazione del panettiere). Dinamica simbolica e shift di Bernoulli. Alcuni esempi di equivalenza tra la dinamica di un sistema deterministico e il lancio di una moneta. Iperbolicita' dell'insieme delle orbite omocline (insieme delle intersezioni tra varieta' stabile e varieta' instabile).
  3. Teorema dell'orbita ombra e applicazioni. Enunciato e dimostrazione del teorema dell'orbita ombra. Applicazione alla descrizione del caos in prossimita' di un'intersezione omoclina. Applicazione alla costruzione di infinite orbite periodiche in prossimita di un punto d'equilibrio iperbolico. Densita' delle orbite periodiche in un sistema di Anosov.
  4. Metodo di Melnikov. Metodo di Melnikov per dimostrare l'esistenza di un'intersezione omoclina e sua applicazione al pendolo forzato, caos nel pendolo. Applicazione alla dinamica di un asteroide oscillante nel campo di due pianeti.

Dispense su Caos.


  Seconda parte: teoria delle orbite periodiche

  1. Teorema di Poincare' di continuazione delle orbite periodiche. Formulazione del problema in termine di mappa di Poincare'. Teorema del raddrizzamento. Regolarita' della mappa di Poincare'. Calcolo degli autovalori della linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con i moltiplicatori di Floquet. Teorema di Poincare'.
  2. Applicazioni. Il teorema del centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari nell'intorno di un punto di equilibrio). Teorema di MacKay-Aubry sull'esistenza dei breathers (impostazione del problema). Problema dei 3 corpi: esistenza di orbite periodiche in un modello di dinamica della luna sotto l'azione della gravita' della terra e del sole.

Dispense su Orbite periodiche 1.

Dispense su Orbite periodiche 2.



Terza parte: ordine

In questa parte del corso, si illustreranno alcuni aspetti della teoria della forma normale, in particolare ci si concentrera'  sul comportamento delle soluzioni di un'equazione differenziale in prossimita' di un punto di equilibrio e sul problema dell'esistenza di una trasformazione di coordinate che permette di ridurre un sistema di equazioni differenziali alla sua parte lineare.

  1. La teoria classica  Linearizzazione di un sistema dinamico in un punto d'equilibrio. Problema della corrispondenza tra la dinamica del sistema linearizzato e la dinamica del sistema completo. Risultati deducibili dal teorema di dipendenza continua dai dati iniziali (corrispondenza per tempi brevi). Teoremi di Lyapunov sulla stabilita' dei punti d'equilibrio.
  2. Forme normali nell'intorno dei punti di equilibrio, teoria formale. Problema: esiste una trasformazione di coordinate che riduce un'equazione differenziale alla sua parte lineare? Lo studio di tale problema porta a introdurre il concetto di risonanza.  Si mostrera' come in assenza di risonanze sia possibile trovare una trasformazione che sposta i termini nonlineari a ordini arbitrariamente alti (teorema di Poincare').
  3. Forme normali nell'intorno dei punti d'equilibrio, teoria rigorosa. Probelma della completa eliminibalita' della parte nonlineare tramite una trasformazione di coordinate. Piccoli divisori, domini di Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta nonrsionanza di tipo diofanteo e loro generalita'. Dimostrazione del teorema di Siegel  di linearizzabilita' di una equazione differenziale in prossimita' di un punto d'equilibrio altamente nonrisonante.
  4. Il caso risonante, sistemi Hamiltoniani e forma normale di Birkhoff Controesempi alla linearizzabilita' nel caso risonante. Il caso Hamiltoniano come caso sempre risonante. Forma normale di Birkhoff come variante della teoria generale adattata al caso Hamiltoniano.

Dispense su Teorema di Siegel 1. parte 2, parte 3, parte 4.
 
Oltre che sulle dispense il materiale del corso e' presente nei seguenti testi, che possono essere utilizzati per complementi e approfondimenti



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