Sistemi dinamici 1
Ordine e caos nei sistemi
deterministici
Prof. Dario Bambusi
Argomenti
da sapere per l'esame
L'esame e' su appuntamento. Gli interessati sono pregati di iscrivervi sul sifa al
primo appello disponibile per rendere possibile la verbalizzazione.
Presentazione
del
corso
La teoria dei sistemi dinamici, sviluppata a partire dalle
intuizioni
di Poincare', ha messo in evidenza la coesistenza di comportamenti
ordinati
e comportamenti caotici in quasi ogni sistema di interesse fisico o
matematico.
Due dei principali strumenti utilizzati per studiare la dinamica di
tali sistemi sono la teoria della forma normale e la teoria dei sistemi
iperbolici. Un ulteriore capitolo importante della teoria dei sistemi
dinamici e' costituito dalla teoria di Poicare' delle orbite periodiche.
Il corso si propone di illustrare alcuni metodi e risultati di tali
teorie.
Prima parte: caos
L'obbiettivo di questa parte del corso e' quello di dare una
spegazione
ed una descrizione matematicamente rigorosa dei fenomeni caotici legati
all'esistenza di intersezioni omocline. In particolare si arrivera' a
dimostrare
che un pendolo debolmente forzato presenta moti caotici. I dettagli
sono
indicati sotto.
- Teorema della varieta' stabile. Esistenza e regolarita'
della varieta'
stabile nell'intorno di un punto d'equilibrio iperbolico;
prolungamento.
Il problema del comportamento globale della varieta' stabile.
Intersezioni
omocline (cioe' intersezioni tra varieta' stabile e varieta'
instabile).
La dinamica caotica come descritta da Poincare'.
- Insiemi iperbolici e comportamento caotico. Definizione
di
insieme
iperbolico ed esempi elementari (gatto di Arnold, trasformazione del
panettiere).
Dinamica simbolica e shift di Bernoulli. Alcuni esempi di equivalenza
tra
la dinamica di un sistema deterministico e il lancio di una moneta.
Iperbolicita'
dell'insieme delle orbite omocline (insieme delle intersezioni tra
varieta'
stabile e varieta' instabile).
- Teorema dell'orbita ombra e applicazioni. Enunciato e
dimostrazione
del teorema dell'orbita ombra. Applicazione alla descrizione del caos
in
prossimita' di un'intersezione omoclina. Applicazione alla costruzione
di infinite orbite periodiche in prossimita di un punto d'equilibrio
iperbolico.
Densita' delle orbite periodiche in un sistema di Anosov.
- Metodo di Melnikov. Metodo di Melnikov per dimostrare
l'esistenza
di un'intersezione omoclina e sua applicazione al pendolo forzato, caos
nel pendolo. Applicazione alla dinamica di un asteroide oscillante nel
campo di due pianeti.
Dispense su Caos.
Seconda parte: teoria delle orbite
periodiche
- Teorema di Poincare' di
continuazione delle orbite periodiche. Formulazione del
problema in termine di mappa di Poincare'. Teorema del raddrizzamento.
Regolarita' della mappa di Poincare'. Calcolo degli autovalori della
linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con i
moltiplicatori di Floquet. Teorema di Poincare'.
- Applicazioni. Il teorema
del centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari
nell'intorno di un punto di equilibrio). Teorema di MacKay-Aubry
sull'esistenza dei breathers (impostazione del problema). Problema dei
3 corpi: esistenza di orbite periodiche in un modello di dinamica della
luna sotto l'azione della gravita' della terra e del sole.
Dispense su Orbite periodiche 1.
Dispense su Orbite periodiche 2.
Terza parte: ordine
In questa parte del corso, si illustreranno alcuni aspetti della
teoria
della forma normale, in particolare ci si concentrera' sul
comportamento
delle soluzioni di un'equazione differenziale in prossimita' di un
punto
di equilibrio e sul problema dell'esistenza di una trasformazione di
coordinate
che permette di ridurre un sistema di equazioni differenziali alla sua
parte lineare.
- La teoria classica Linearizzazione di un sistema
dinamico
in un punto d'equilibrio. Problema della corrispondenza tra la dinamica
del sistema linearizzato e la dinamica del sistema completo. Risultati
deducibili dal teorema di dipendenza continua dai dati iniziali
(corrispondenza
per tempi brevi). Teoremi di Lyapunov sulla stabilita' dei punti
d'equilibrio.
- Forme normali nell'intorno dei punti di equilibrio, teoria
formale.
Problema: esiste una trasformazione di coordinate che riduce
un'equazione
differenziale alla sua parte lineare? Lo studio di tale problema porta
a introdurre il concetto di risonanza. Si mostrera' come in
assenza
di risonanze sia possibile trovare una trasformazione che sposta i
termini
nonlineari a ordini arbitrariamente alti (teorema di Poincare').
- Forme normali nell'intorno dei punti d'equilibrio, teoria
rigorosa. Probelma
della completa eliminibalita' della parte nonlineare tramite una
trasformazione
di coordinate. Piccoli divisori, domini di Poincare' e di Siegel.
Condizioni
di alta nonrsionanza di tipo diofanteo e loro generalita'.
Dimostrazione
del teorema di Siegel di linearizzabilita' di una equazione
differenziale
in prossimita' di un punto d'equilibrio altamente nonrisonante.
- Il caso risonante, sistemi Hamiltoniani e forma normale di
Birkhoff Controesempi
alla linearizzabilita' nel caso risonante. Il caso Hamiltoniano come
caso
sempre risonante. Forma normale di Birkhoff come variante della teoria
generale adattata al caso Hamiltoniano.
Dispense su Teorema di Siegel 1.
parte 2,
parte 3,
parte 4.
Oltre che sulle dispense il materiale del corso e' presente nei
seguenti testi, che possono
essere utilizzati per complementi e approfondimenti
-
A. Giorgilli:
Dispense
- V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni
differenziali
ordinarie. Roma : Editori Riuniti, 1989.
- Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of ordinary
differential
equations.
New York : McGraw-Hill Book Company, 1955.
- V.I. Arnold, Andre' Avez:Problemes ergodiques de la mecanique
classique.
Paris : Gauthier-Villars, 1967.
- Anatole Katok, Boris Hasselblatt: Introduction to the modern
theory of
dynamical systems. Cambridge : Cambridge University Press, 1995.
Per ulteriori informazioni potete contattarmi allo 02/ 50316139, oppure
a dario.bambusi at unimi.it