Prof. Dario Bambusi

Per tutti gli argomenti e' richiesto di saper descrivere i metodi le argomentazioni euristiche che portano ai vari risultati. Inoltre saranno richieste alcune dimostrazioni, o cenni di dimostrazione come descritto sotto.

1. Teorema della varieta' stabile. Generalita' sulla varieta' stabile, eunciato e dimostrazione del teorema della varieta' stabile nell'intorno di un punto d'equilibrio iperbolico; prolungamento.
   
2. Intereszione omoclina e comportamenti caotici. Il problema del comportamento globale della varieta' stabile. Intersezioni omocline (cioe' intersezioni tra varieta' stabile e varieta' instabile). La dinamica caotica come descritta da Poincare'.
3. Insiemi iperbolici. Definizione di insieme iperbolico ed esempi elementari (gatto di Arnold, trasformazione del panettiere). Dinamica simbolica e shift di Bernoulli. Alcuni esempi di equivalenza tra la dinamica di un sistema deterministico e il lancio di una moneta. Iperbolicita' dell'insieme delle orbite omocline (insieme delle intersezioni tra varieta' stabile e varieta' instabile).
4. Teorema dell'orbita ombra e applicazioni. Enunciato del teorema dell'orbita ombra. Schema della dimostrazione. Applicazione alla descrizione del caos in prossimita' di un'intersezione omoclina. Applicazione alla costruzione di infinite orbite periodiche in prossimita di un punto d'equilibrio iperbolico.
   
5. Metodo di Melnikov. Metodo di Melnikov per dimostrare l'esistenza di un'intersezione omoclina e sua applicazione al pendolo forzato, caos nel pendolo.
   

1. Teorema di Poincare' di continuazione delle orbite periodiche. Formulazione del problema in termine di mappa di Poincare'. Teorema del raddrizzamento. Regolarita' della mappa di Poincare'. Calcolo degli autovalori della linearizzazione della mappa di Poincare' e relazione con i moltiplicatori di Floquet. Teorema di Poincare'.
2. Applicazioni. Il teorema del centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari nell'intorno di un punto di equilibrio). Teorema di MacKay-Aubry sull'esistenza dei breathers (impostazione del problema). Problema dei 3 corpi: esistenza di orbite periodiche in un modello di dinamica della luna sotto l'azione della gravita' della terra e del sole.
   

1. Teoria formale. (1) Problemadell'esistenza di una trasformazione di coordinate che riduce un'equazione differenziale alla sua parte lineare. (2) risonanze. (3) Teorema di Poincare' sull'esistenza di trasformazioni formali che mettono in forma normale un sistema dinamico (cioe' esistenza di una trasformazione che sposta i termini nonlineari a ordini arbitrariamente alti)
2. Piccoli divisori e teorema di Siegel. Piccoli divisori in domini di Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta nonrsionanza di tipo diofanteo e loro generalita'. Dimostrazione del fatto che i piccoli divisori crescono al crescere dell'ordine in domini di Poincare', dimostrazione del fatto che i piccoli divisori soddisfano a stime diofantee in insiemi di misura piena. Schema della dimostrazione del teorema di Siegel (schema iterativo formale e andamento "quadratico" delle stime).
   
3. Il caso risonante, sistemi Hamiltoniani e forma normale di Birkhoff Controesempi alla linearizzabilita' nel caso risonante. Il caso Hamiltoniano come caso sempre risonante. Forma normale di Birkhoff come variante della teoria generale adattata al caso Hamiltoniano.

•  V.I. Arnold: Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Roma : Editori Riuniti, 1989.
• Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of ordinary differential equations. New York : McGraw-Hill Book Company, 1955.
• V.I. Arnold, Andre' Avez:Problemes ergodiques de la mecanique classique. Paris : Gauthier-Villars, 1967.
• Anatole Katok, Boris Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems.  Cambridge : Cambridge University Press, 1995.