1) Introduzione alle equazioni differenziali

• Definizione di soluzione, riduzione di sistemi di dipendenti dal tempo e di ordine qualsiasi a sistemi del primo ordine autonomi.
• Problema di Cauchy, enunciato del teorema di esistenza ed unicita'.
• Ritratto di fase dei sistemi autonomi del primo ordine in una variabile reale.
• Ritratto di fase dei sistemi autonomi del secondo ordine in una variabile reale.
• Sistemi lineari: linearizzazione attorno ad un punto di equilibrio, soluzione generale nel caso di matrice diagonalizzabile.
• Studio dei punti d'equilibrio dei sistemi piani, classificazione dei sistemi lineari piani.
• Derivata di Lie e costanti del moto.
• Stabilita' alla Lyapunov: definizione e teorema di Lyapunov sul fatto che l'esistenza di una funzione di Lyapunov implica la stabilita' (enunciato e dimostrazione). Teroema di Lyapunov sulle relazioni tra stabilita' lineare e stabilita' non lineare (enunciato).
• Studio dell'equilibrio dei prezzi sotto la legge della domanda e dell'offerta (enunciato e schema della dimostrazione)
• Sistemi dinamici discreti monodimensionali: sistemi dinamici definiti da mappe. Relazione con i sistemi dinamici continui. Punti fissi, linearizzazione, stabilita' degli equilibri. Un esempio di mappa caotica (il raddoppio dell'angolo): definizione dinamica simbolica (isomorfismo con il lancio della moneta), densita' delle orbite periodiche, esistenza di un'orbita densa.

2) Equazioni di Lagrange

• Deduzione delle equazioni di Lagrange (I): il problema delle equazioni del moto per una particella in coordinate qualsiasi.
• Deduzione delle equazioni di Lagrange (II): Vincoli olonomi ideali, deduzione delle equazioni del moto per un sistema di particelle soggette a vincoli olonomi ideali. Esempi elementari.
• Forma generale delle equazioni di Lagrange per un sistema naturale autonomo, riduzione in forma normale delle equazioni di Lagrange.
• Integrale di Jacobi e sua identificazione con l'energia nel caso di sistemi naturali
• Variabili cicliche e loro uso in sistemi a due gradi di liberta' per ottenere il ritratto di fase. Orbite periodiche o dense in sistemi con simmetria cilindrica.
• Punti d'equlibrio di sistemi Lagrangiani: i punti d'equilibrio come punti stazionari del potenziale, stabilita' e teorema di Lagrange Dirichlet.
• Piccole oscillazioni di sistemi Lagrangiani.
  

3) Il problema di Keplero ed elementi di meccanica Newtoniana

• Studio della dinamica di un punto materiale sotto l'azione di una forze centrale a simmetria sferica: conservazione del momento della quantita' di moto e planarita' del moto, seconda legge di Keplero, equazioni del moto in coordinate polari, potenziale efficace e riduzione ad un problema unidimensionale.
• Problema di Keplero: calcolo completo dell'orbita, sua identificazione con una conica. Prima e terza legge di Keplero.
• Problema dei 2 corpi: riduzione al problema ad un corpo e modifica della terza legge di Keplero

Materiale

Riferimenti bibliografici. 

• Dario Bambusi: Dispense di Sistemi Dinamici (disponibili sulla pagina web di Dario Bambusi)
• Dario Bambusi: Dispense di Meccanica Lagrangiana (disponibili sulla pagina web di Dario Bambusi)
• Benettin Galgani Giorgilli: Dispense di Meccanica Razionale (disponibili sulla pagina web di Dario Bambusi)
• Antonio Giorgilli: Dispense di Fisica Matematica I (disponibili sulla pagina web di Antonio Giorgilli)
• V.I. Arnold: Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti
• L. Landau, E. Lifchitz: Meccanica.
• H. Goldstein: Meccanica Classica, Zanichelli
• A. Fasano, S. Marmi: Meccanica analitica, Bollati Boringhieri.