Algebra computazionale

Presentazione

Dato un sistema di equazioni polinomiali (a coefficienti in un campo) è possibile stabilire se è risolubile e in caso affermativo se ha o no un numero finito di soluzioni? Si è in grado di ricavare tutte le possibili soluzioni (eventualmente in dipendenza da parametri)?
Viceversa, dato un insieme di n-uple di numeri (magari non finito, dipendente da uno o più parametri) è possibile trovare un sistema di equazioni polinomiali di cui l’insieme sia soluzione?

Nel caso in cui il sistema (o la dipendenza da parametro) sia lineare è ben noto che le risposte sono affermative. Nei casi di grado superiore si possono almeno dare condizioni sotto le quali le risposte ai precedenti quesiti sono affermative o negative: tali condizioni vengono espresse meglio usando il linguaggio dell’algebra commutativa, ma perché si possa dare una risposta effettiva per esempio alla domanda "questo particolare sistema ha soluzioni?" occorre uno strumento che si presti a una traduzione algoritmica. Ciò porta all’introduzione delle basi di Groebner che costituiranno il nucleo di questo corso.

Unico prerequisito è il corso di Matematica Discreta: definizioni e teoremi di algebra e geometria saranno richiamati e illustrati nel momento in cui risulteranno utili; ciononostante, nel programma del corso allegato, si è ritenuto opportuno raccogliere in un unico capitolo gli argomenti che possono essere etichettati come Algebra Commutativa o Geometria Affine e che forniscono il contesto in cui si pensa di utilizzare lo strumento delle basi di Groebner durante queste lezioni (il che non significa che questo sia l’unico in cui esso è fruttuoso), così come si è ritenuto opportuno evidenziare in un altro capitolo alcuni semplici algoritmi, in modo da isolare premesse e conseguenze dall’argomento effettivo del corso. Una diversa partizione degli argomenti, più simile a quella che si pensa di attuare a lezione, si può ottenere scorrendo l’indice dei primi quattro o cinque capitoli del libro di Cox-Little-O’Shea citato in bibliografia oppure il programma ufficiale del corso (italiano/inglese).

Avendo optato per un’esposizione self-contained della materia, questo corso potrà affrontare ovviamente solo argomenti introduttivi tanto dell’algebra commutativa che dell’algebra computazionale.

Suggerimenti su sistemi di calcolo utilizzabili per l’algebra computazionale saranno forniti a lezione.

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