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Arg01 - Numeri reali. Funzioni e loro grafici; Arg02 - Funzioni elementari e disequazioni; Arg14 - Numeri complessi; Arg11 - Vettori e loro applicazioni (Vettori: somma, prodotto per scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto: definizioni e propriet in forma geometrica e loro traduzione per componenti. Geometria analitica nello spazio: rette, piani e loro relazioni reciproche. Angoli. Distanze.); Arg03s - Limiti di successioni.

NOVITA'
Appunti di Algebra Lineare, integrativi dei Capitoli 11, 12, 13 del Matematica assistita, seguiti dal Prof. Mastrolia


Lezione del 4/10/2016: insiemi, sottoinsiemi e cenni di logica elementare.
Esercitazione del 5/10/2016: equazioni e disequazioni lineari, di secondo grado, fratte. Svolgere gli esercizi dell'Arg 2 di Matematica assistita,
pag. 1.
Lezione del 6/10/2016: definizione di funzione. Insiemi numerici e loro cardinalit
; il campo ordinato archimedeo dei numeri razionali; il campo archimedeo completo dei numeri reali.
Lezione dell'11/10/2016: i numeri razionali sono rappresentati da allineamenti di cifre limitati o illimitati ma periodici indipendentemente dalla base (10, 2 o altro) scelta per la rappresentazione dei numeri; spunti su come definire somma e prodotto di numeri reali. L'insieme ordinato dei razionali non
completo. Insiemi superiormente (o inferiormente) limitati: esempi. Definizione e propriet del valore assoluto e suo utilizzo per descrivere l'intorno di un punto; definizione di intervallo limitato (aperto, chiuso o semiaperto) e illimitato. Definizione di estremo superiore (inferiore) di un insieme, esempi e convenzioni. Completezza e Teorema dell'estremo superiore. Svolgere gli esercizi dell'Arg 1 di Matematica assistita, pag. 1,2.
Lezione del 12/10/2016
: potenze intere, razionali e reali; loro propriet; logaritmi. Per chi deve rivedere le basi dell'argomento si consiglia la lettura di Lezione 2 di http://minimat.ariel.ctu.unimi.it (con relativi esercizi).
Esercitazione del 12/10/2016: disequazioni esponenziali semplici; disequazioni irrazionali con radicali.
Lezione del 13/10/2016: cautele sulle propriet
algebriche dei logaritmi e loro dimostrazione; teorema di Cantor sulla cardinalit dei numeri reali. Funzioni: definizione, dominio, codominio, immagine, grafico; funzioni iniettive, suriettive, biunivoche; funzioni superiormente (inferiormente) limitate e loro visualizzazione sul grafico. Esempi. Svolgere gli esercizi da 1.11 a 1.23 dell'Arg 1 di Matematica assistita.
Lezione del 18/10/2016. Operazioni di somma e prodotto di funzioni aventi lo stesso dominio. Propriet ed esempi: potenze, monomi e polinomi; tracciamento del grafico di polinomi di secondo grado e relazioni con la parabola di asse parallelo all'asse y (eventualmente rivedere Lezione 6 di http://minimat.ariel.ctu.unimi.it). Operazione di composizione di funzioni. Propriet ed esempi. Uguaglianza di funzioni. Esercizi di composizione e scomposizione di funzioni. Effetto della composizione di una funzione con traslazioni e dilatazioni, a seconda dell'ordine di composizione. Svolgere gli esercizi da 1.24 a 1.37 dell'Arg 1 di Matematica assistita.
Lezione del 19/10/2016: Funzioni pari e dispari: simmetrie. Funzioni invertibili; equivalenza con la biunivocit; nozione di inversa; esempi sulle potenze a esponente intero positivo. Grafico della funzione inversa. Monotonia (stretta e non) su un intervallo, esempi; in particolare "parte intera di x". Ogni funzione strettamente monotona invertibile (ma non vale il viceversa).  Monotonia della somma di funzioni crescenti (decrescenti) su un intervallo, dell'opposto di una funzione monotona, delle composte di funzioni monotone su opportuni intervalli, dell'inversa di una funzione monotona f su ciascun intervallo la cui unione Im(f). Esempi di applicazione nel caso delle potenze con esponente frazionario e reale, delle esponenziali e dei logaritmi con base >1 (o compresa tra 0 e 1).
Esercitazione del 19/10/2016: esercizi sulla composizione di funzione; grafico di f(-x), -f(x), -f(-x), f(|x|), |f(x)|. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Svolgere i restanti esercizi dell'Arg 1 di Matematica assistita.
Lezione del 20/10/2016. Richiami di goniometria: angoli in senso geometrico (e loro misura in gradi sessagesimali) e in senso dinamico: angoli orientati e loro misure in radianti (positivi e negativi). Corrispondenza tra la misura in gradi e quella in radianti in generale e per alcuni angoli significativi. Seno, coseno e tangente di un angolo acuto; estensione della nozione agli angoli orientati con misura reale qualsiasi. Calcolo esplicito del valore delle tre funzioni, quando possibile, per angoli di misura significativa (0, p/6, p/4, p/3, p/2, 2p/3, p, 5p/4, 11p/6, 2p).
Rivedere Lezione 7 di http://minimat.ariel.ctu.unimi.it.
Lezione del 25/10/2016:  Limitatezza, periodicit
, simmetrie, monotonia e legami tra le funzioni sen(x) e cos(x); uso di tali propriet per tracciare il loro grafico. Raffinamento del grafico con il calcolo di valori aggiuntivi di senx mediante le formule di addizione; derivati di tali formule (duplicazione e bisezione, prostaferesi). Propriet e grafico della funzione tangente.
Lezione del 26/10/2016: Equazioni e disequazioni trigonometriche: risolubilit
, metodi di risoluzione ed esempi. Le inverse delle funzioni trigonometriche. Grafici di funzioni del tipo Asen(wx+k) o Acos(wx+k) e riconduzione a tale forma delle funzioni  asen(wx)+bcos(wx).
Esercitazione del 26/10/2016: un grafico e alcune equazioni trigonometriche.
Svolgere i restanti esercizi dell'Arg 2 di Matematica assistita.
Lezione del 27/10/2016: Introduzione del campo dei numeri complessi con rappresentazione in forma algebrica. Rappresentazione nel piano di Argand-Gauss: visualizzazione di parte reale e parte immaginaria, coniugato e modulo di un numero complesso: loro propriet
. Sistema di riferimento polare e rappresentazione in forma trigonometrica di un numero complesso diverso da zero.
Esercitazione del 27/10/2016. Un esercizio sulla determinazione della forma algebrica di un numero complesso espresso come rapporto.
Svolgere i primi esercizi dell'Arg. 14 di Matematica assistita. Un esercizio di determinazione del dominio di una funzione.
Lezione del 2/11/2016: Prodotto di due numeri in forma trigonometrica e sua interpretazione geometrica; rappresentazione trigonometrica del coniugato, del reciproco, del quoziente ed esercizi. Cenni alla forma esponenziale del numero complesso; formule di De Moivre sulle potenze intere di un numero complesso; due esercizi che sfruttano le formule di De Moivre. Il teorema di esistenza di n radici n-esime complesse distinte per ogni numero complesso non nullo e formule di calcolo. Rappresentazione geometrica delle radici n-esime nel piano di Argand-Gauss. Cinque esercizi di calcolo di radici n-esime di numeri complessi. Un esercizio a richiesta dall'Arg 14.
Lezione del 3/11/2016: Un'idea per il calcolo di radici n-esime "laboriose": riconduzione del calcolo delle radici complesse ottave di -1 a quello delle radici ottave di 1. Il teorema fondamentale dell'algebra e sue conseguenze sui polinomi a coefficienti reali; esempi.
Esercitazione del 3/11/2016: 5 tipologie di esercizi inerenti le radici n-esime complesse.
Svolgere tutti gli esercizi dell'Arg. 14 di Matematica assistita.
Esercizi a richiesta sui numeri complessi svolti l'8/11/2016.
Lezione dell'8/11/2016: Nozione di successione; successione limitata o non (esempi). Nozione di successione convergente (eventualmente per eccesso o difetto) con esempi; nozione di successione divergente a +infinito (o -infinito); limitatezza delle successioni convergenti e non limitatezza dal di sopra (risp. dal di sotto) di successioni divergenti a +infinito (risp. a - infinito). Unicit del limite (finito o non). Successioni irregolari (limitate o non: esempi). Esempi di determinazione del limite in casi elementari. Successioni monotone e teorema che ne garantisce la regolarit; esempio delle potenze di base q reale ed esponente n naturale (determinazione di quali sono monotone e dei limiti quando esistono). Teoremi relativi all'ordinamento: teor. della permanenza del segno (anche in forma contronominale); teorema del confronto e suo utilizzo. Infinitesimi ed infiniti. Il materiale si trova nell'Arg.3s di Matematica assistita e nel Cap.3 del libro di testo.
Lezione del 9/11/2016: Aritmetica dei limiti nel caso di due successioni convergenti e in quello in cui almeno una diverge: esempi. Calcolo di alcuni limiti medianti strumenti teorici o geometrici o algebrici: limiti di {(sen n)/n}, {sen(1/n)}, {cos(1/n}}, {n*sen(1/n)}, {(1-cos(1/n))*n^2} e loro generalizzazioni. Forme di indecisione aritmetica ([inf-inf], [0*inf], [inf/inf], [0/0]). Esempi di calcolo di limiti con le varie forme di indecisione: in particolare differenza di radicali divergenti. Limite di successioni esponenziali e logaritmiche di base costante e riconduzione a questi dei limiti di successioni esponenziali con base ed esponente variabile: le tre forme di indecisione [inf^0], [0^0], [1^inf], con esempi. Teorema di Nepero con dimostrazione e stima del numero reale e.
Lezione del 10/11/2016: Generalizzazione del limite di Nepero a successioni divergenti diverse da {n} e i tre limiti notevoli conseguenti, relativi alle successioni {n*ln(1 + (1/n))}, {n*(e^(1/n)-1)}, {n*([
1 + (1/n)]^t - 1)} e loro generalizzazioni. Esercizi tanto sulla generalizzazione del limite di Nepero che sulle sue conseguenze. Approssimazione del termine generale di una successione: la nozione di coppia di successioni asintotiche e di successione "o-piccolo" di un'altra; loro utilizzo per semplificare (in modo corretto) il calcolo di un limite; in particolare approssimazione del termine generale delle successioni {sen(1/n)}, {tan(1/n)}, {ln(1 + (1/n))}, {e^(1/n)}, {[1 + (1/n)]^t } e di quelle polinomiali. Ordine di infinito e di infinitesimo e confronti "elementari" di infiniti e infinitesimi. Svolgere gli esercizi contenuti nelle slides e tutti gli esercizi dell'Arg. 3s di Matematica assistita, tranne 3s.1.
Lezione del 15/11/2016: Uso del criterio del rapporto per stabilire se una successione tende a zero, in particolare per determinare una gerarchia degli infiniti {n^a} con a >0 reale, {c^n} con c>1 reale, {n!}, {n^n}; impossibilit di usarlo per confrontare {ln(n)} e {n^a} con a >0 reale: metodi alternativi per vedere che la prima infinito di ordine inferiore alla seconda; numerosi esercizi (anche da Matematica Assistita) per ripassare le forme di indecisione e gli strumenti per un calcolo veloce dei limiti di successione (asintotici e o-piccolo). Precisazione sull'esercizio 3s.10(a) della pagina S46. Completare lo svolgimento degli esercizi contenuti in queste slides e degli esercizi dell'Arg. 3s di Matematica assistita.
Definizione successionale del concetto di limite di una funzione reale di variabile reale
per x che tende a c (reale o +infinito o - infinito) e primi esempi in positivo e in negativo; limite per x che tende a c dalla destra (o dalla sinistra).
Lezione del 17/11/2016: Asintoti orizzontali, verticali e obliqui: quando si possono presentare e come si stabilisce se esistono e se ne determinano le eventuali equazioni (con esempi in negativo e in positivo). Concetto di funzione continua in un punto; tipi di discontinuit e relativi esempi. Regole di calcolo dei limiti della somma, della differenza, del prodotto, del rapporto, delle composte e ricadute sulle funzioni continue. Le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro ID (eventualmente da destra o da sinistra se l'ID un intervallo chiuso). Quali limiti sono semplici da calcolare? Due esempi. Svolgere gli esercizi dell'Arg. 3 di Matematica assistita.
Un esercizio a richiesta sui limiti che seguono dal limite di Nepero (successioni).
Lezione del 22/11/2016: limiti negli estremi dell'ID delle funzioni elementari e limiti notevoli per x che tende a 0 o a infinito. Quando
opportuno calcolare un limite per sostituzione (t=-x, t=1/x, t=x-c): vari esempi. Nozioni di funzioni asintotiche, funzione o-piccolo di un'altra, infinito e infinitesimo (e loro gerarchie) per x che tende a c (finito o infinito) ed utilizzo negli esercizi. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema degli zeri (con dimostrazione) e sua applicazione; teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi. Controesempi che mostrano la necessit delle ipotesi. Note a margine. Svolgere gli esercizi degli Arg. 4 e 5 di Matematica assistita.
Esercitazione del 24/11/2016: Svolgimento di due limiti assegnati la volta precedente; svolgimento di un limite con radicale. Studio di una funzione (la cui  monotonia suggerita da considerazioni elementari) ivi compresi limiti e asintoti (orizzontale ed obliquo).
Lezione del 24/11/2016: Nozione di rapporto incrementale e derivata in un punto e loro significato geometrico. Esempi di funzioni derivabili in ogni punto del loro ID (la funzione costante e quella lineare) e di funzioni che in almeno un punto non sono derivabili in quanto il limite del rapporto incrementale
infinito oppure non esiste (esiste da destra e da sinistra ma diverso, finito o infinito). Calcolo di derivate di funzioni elementari con l'uso dei limiti notevoli. Approssimazione lineare di una funzione in un punto, differenziale di una funzione in un punto e continuit delle funzioni derivabili (dimostrazione e controesempio). La funzione derivata.
Esercitazione del 29/11/2016: calcolo di un limite con uso delle approssimazioni lineari; calcolo della derivata di sen x.
Lezione del 29/11/2016: Derivate di: x^a (in particolare con a=1/2), exp(x), ln(x), sen(x), cos(x). Derivata della somma, del prodotto, della composta, della reciproca, del quoziente, dell'inversa: condizioni di esistenza, formule di calcolo e applicazioni ai polinomi, a tan(x), a c^x, a ln|x|, ad arctan(x), arcsen(x), arccos(x). Esercizi di calcolo di derivate e di rette tangenti in un punto al grafico di varie funzioni. Nozione di massimo e minimo relativo e confronto con quelle di massimo e minimo assoluto.
Svolgere gli esercizi dell'Arg. 6 di Matematica assistita, tranne le formule di Taylor.
Lezione del 1/12/2016: Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange (con dimostrazioni) e loro conseguenze: criterio di monotonia su un intervallo di una funzione ivi derivabile, determinazione di punti di massimo e minimo relativo e metodo per ricavare
, una volta nota una, tutte le primitive di una funzione continua su un chiuso limitato. Esercizi sulla monotonia delle funzioni (invertibilit e applicazione del teor. di derivazione della funzione inversa); studi di funzioni: svolgere quelli non fatti! Convessit e concavit di una funzione e punti di flesso: un criterio per la determinazione degli intervalli di convessit legato alla monotonia della derivata prima (conseguenza del teor. di Lagrange) e al segno della derivata seconda. Uno studio di funzione completo. Svolgere quelli non fatti! Svolgere gli esercizi dell'Arg. 7 di Matematica assistita. Uno studio di funzione da completare.
Seminario del 6/12/2016: esercizi a richiesta; completamento dello studio assegnato perche' fosse completato il giorno 1/12; un es. da Matematica Assistita; svolgimento dell'es. (3) pag D26. Svolgimento degli studi pag D26 (4) e (9) assegnati come compito.
Lezione del 13/12/2016. Risoluzione di limiti non elementari. Teorema di De l'Hospital (quando
applicabile; esempi). Derivate di ordine successivo; approssimazioni polinomiali (richiami a quelle del primo ordine) e teorema di Taylor. Nozioni di polinomio di Taylor di una funzione arrestato all'ordine n e di resto nella formula di Taylor; caso particolare in cui il punto iniziale 0 (formula di Mac Laurin). Quando applicare resto nella forma di Lagrange o nella forma di Peano: esempi di stima di radice di e e di calcolo di limite. Caso polinomiale: schema di costruzione del polinomio di Taylor con punto iniziale diverso da 0. Formule di Mac Laurin nel caso non polinomiale, con verifica relativa a: expx, ln(1+x), senx, tanx, Shx, Chx, (1+x)^a e suoi casi particolari. Cosa fare quando l'argomento della funzione (invece di x) ax o x^a, con a reale fissato. Calcolo di un paio di limiti per evidenziare come cercare la giusta approssimazione tenendo conto degli o-piccolo.
Supplemento al Matematica Assistita: Formule di Taylor
: esercizi e soluzioni. Gli esercizi denotati con un asterisco propongono qualche approfondimento e possono presentare qualche difficolt. Si consiglia in ogni caso di affrontare tutti questi esercizi dopo quelli proposti nell'Argomento 6 di Matematica Assistita.
Esercitazione del 15/12/2016: svolgimento di 5 esercizi sulle formule di Taylor e il calcolo dei limiti (svolgimento di quelli lasciati per esercizio la volta precedente).
Lezione del 15/12/2016: Nozione di primitiva e integrale indefinito; primitive elementari; metodi per la determinazioni di primitive dipendenti dalle formule di derivazione della somma e del prodotto di funzioni: il metodo di integrazione per sostituzione e il metodo di integrazione per parti; esempi di applicazione di questi due metodi. Svolgere gli esercizi di pag. P5 e P6 che non sono gi
svolti alle pagine P5.1 e P6.1.
Esercitazione del 20/12/2016: risoluzione degli es. di pag P5 e P6. Un utilizzo atipico del metodo di integrazione per parti.
Lezione del 20/12/2016: metodo di integrazione per sostituzione (versione immediata e versione pi elaborata): esempi, in particolare con funzioni razionali fratte. Riassunto dei passi da svolgere con le funzioni razionali fratte. Esercizi che coinvolgono un po' tutti i metodi di integrazione.
Svolgere gli esercizi di pag. P8 e P12 che non sono gi svolti alle pagine P8.1-P8.3 e P12.1. Svolgere gli esercizi dell'Arg. 8 di Matematica assistita.
Lezione del 21/12/2016: Problema della nozione di area nel caso di figure mistilinee. La definizione di area con il metodo di esaustione nel caso classico del cerchio e nel caso del trapezoide delimitato da una parabola. Nozione di somma n-esima di Cauchy-Riemann e di integrale definito  di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato:  analogie e differenze con il calcolo dell'area. Propriet di additivit  degli intervalli di integrazione ed estensione della nozione di integrale alla situazione in cui l'estremo inferiore di integrazione maggiore di quello superiore; linearit del funzionale "integrale" e sua monotonia. Enunciazione del metodo esatto per il calcolo dell'integrale definito: numerosi esempi. Calcolo di aree (anche con figure simmetriche rispetto a punti o rette). Nozione di funzione integrale: il teorema fondamentale del calcolo (con il lemma  del valor medio del calcolo integrale) e, come conseguenza, spiegazione dell'origine del del metodo esatto per il calcolo dell'integrale definito. Altre applicazioni del TFC per lo studio della funzione integrale.  Svolgere gli esercizi dell'Arg.9 di Matematica assistita.
Esercitazione del 10/01/2017: tre esercizi di calcolo primitive e integrali definiti (vedi Fac-simile 3)
Lezione del 10/01/2017: integrali generalizzati a funzioni con un numero finito di discontinuit
a salto. Integrali impropri di I e II specie, convergenti e divergenti: esempi cruciali con le funzioni 1/x^k, con k>0. Numerosi esempi di calcolo (anche come esercizio di calcolo di primitive). Attenzione: l'esercizio 4(C) ha un risultato diverso da quello riportato a lezione!
Lezione del 12/01/2017: criteri del confronto (con disequazioni o limiti) e del confronto asintotico per stabilire, sotto opportune ipotesi, se un integrale improprio converge o diverge. Due esercizi ulteriori sull'uso del criterio del confronto mediante disequazioni.
Svolgimento dei quesiti ancora non risolti del Fac-simile 3 (vedi anche esercitazione del 10/1).
Esercitazione del 17/01/2017:
Discussione di un integrale impropri, un calcolo di radici complesse, matrice associata ad una applicazione lineare (esempio); esercizi dall' Arg12 di Matematica Assistita: prodotto di matrici (e composizione di applicazioni lineari; determinanti di matrici dipendenti da parametro e legame del determinante con il prodotto misto nel caso di matrici 3x3. Rango di una matrice, anche dipendente da parametro. Spiegazioni sui determinanti.
Esercitazione del 19/01/2017: esercizi di tutti i tipi in vista del compito.

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