SCHEDA DI LUIGI PEPE SUGLI "ELEMENTI" DI EUCLIDE Supplemento al Notiziario della Unione Matematica Italiana, n. 7 del 1979 (con le variazioni segnalate nel  9 della presentazione) Autore: EUCLIDE Titolo: Gli Elementi (a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni) 1046 pagine UTET, Torino 1970 (e, ristampa, 1988) Classificazione CDU: 513 Classificazione ZDM: 5.3 Indice: pag. 7 Introduzione " 45 Libro I " 151 Libro II " 193 Libro III " 259 Libro IV " 289 Libro V " 351 Libro VI " 419 Libro VII " 485 Libro VIII " 523 Libro IX " 565 Libro X " 847 Libro XI " 927 Libro XII " 985 Libro XIII " 1043 Indice delle tavole 1. `Euclide e "gli Elementi"' Le notizie riguardanti l'autore degli Elementi sono assai scarse e risalgono essenzialmente al commento di `Proclo' (V secolo d. C.). Dice Proclo: "Euclide dovette vivere al tempo del primo Tolomeo (306-283 a. C.), poich‚ Archimede, che viene subito dopo, parla di Euclide; ed inoltre si racconta che una volta Tolomeo gli avrebbe chiesto se vi fosse per lo studio della geometria una via pi— breve degli `Elementi', ed egli rispose che in geometria non vi sono vie regie. CosŤ dunque egli Š pi— giovane degli scolari di Platone, e pi— vecchio di Eratostene e d'Archimede. "Egli compil• i suoi `Elementi' raccogliendo molti teoremi di Eudosso, compiendo ci• che aveva cominciato Teeteto, e porgendo dimostrazionii esatte di quel che i suoi predecessori avevano dato senza il necessario rigore.". Quindi il nostro Euclide `non' Š l'Euclide di Megara, discepolo di Socrate, con il quale Š stato per un certo tempo confuso. Sono attribuiti ad Euclide una dozzina di trattati dei quali ce ne sono noti cinque: gli `Elementi', i `Dati', la `Divisione delle figure', i `Fenomeni', l'`Ottica'. Essi sono, con la sola eccezione del "Moto della sfera" di Autiloco di Pitane, contemporaneo di Aristotele, le pi— antiche opere rimaste dei matematici greci. Gli `Elementi' non sono un compendio della matematica dell'epoca ma piuttosto un manuale di matematica per l'educazione superiore: infatti in essi troviamo la geometria della riga e del compasso, questioni di teoria dei numeri, l'algebra geometrica, mentre non ne fanno parte l'arte del contare o lo studio delle sezioni coniche o di altre curve pi— complesse (come la quadratrice). 2. `Nota bibliografica' Una bibliografia euclidea Š materia di pubblicazioni ad hoc, come quelle classiche di `P. Riccardi', Saggio di una bibliografia euclidea, Mem. Acc. Bologna, Serie IV, T. VIII e IX, Serie V, T. I e II. (1887-93). Limitiamoci quindi a segnalare i testi pi— importanti e pi— accessibili. --- L'edizione critica dell'`Opera omnia' di Euclide (testo greco, traduzione latina e scolii) Š quella di `J. L. Heiberg' e `H. Menge' in sei volumi, B. G. Teubner, Lipsia 1883-1888. Gli "Elementa" sono editi e interpretati da Heiberg in cinque volumi (I-IV, V-IX, X, XI-XIII, XIV-XV e scholia), 1883, 1884, 1886, 1885, 1888. --- Interessantissima Š la traduzione italiana in quattro volumi (I-IV, V-IX, X, XI-XIII) degli `Elementi', curata da `F. Enriques', Roma (1925, Stock) e Bologna (1930, 1932, 1936, Zanichelli): Gli Elementi d'Euclide e la critica antica e moderna editi da F. Enriques col concorso di diversi collaboratori. Quest'opera si segnala anche per lo studio dei principali contributi alla geometria euclidea portati nei secoli successivi. --- Un'edizione italiana dell'`Ottica', a cura di G. Ovio, Š stata pubblicata nei manuali Hoepli. --- Un'edizione inglese della `Divisione delle figure', a cura di R. C. Archibald, Š stata fatta nel 1915, dalla Cambridge University Press. Gli `Elementi' sono divisi in XIII libri; tuttavia molte edizioni antiche contengono un XIV e, a volte, un XV libro che la critica pi— recente considera apocrifi e attribuisce rispettivamente a Ipsicle (III secolo a. C.) e a Isidoro di Mileto (IV secolo d. C.): entrambi questi libri trattano diffusamente dei poliedri regolari. L'`edizione presente' Š l'unica edizione completa degli Elementi, disponibile sul mercato in lingua italiana. Il testo di Euclide seguito nella traduzione Š quello edito da Heiberg e Menge. 3. `Alcune antiche edizioni degli Elementi di Euclide.' 1482 (incunabolo) Campano - Euclidis elementa geometriae - Venezia, in folio. 1509 Pacioli Luca - Euclidis opera - Venezia, in folio. 1533 Editio princeps (testo greco)- Basilea, in folio. 1543 Tartaglia Nicol• - Euclide diligentemente rassettato et alla integrit… ridotto - Venezia, in folio. 1572 Commandino Federico - Euclidis elementorum libri XV- Pesaro, in folio. 1574 Clavio Cristoforo - Euclidis elementorum libri XV- Roma, 2 vol. in 8ř. 1572 Commandino Federico - Degli elementi di Euclide libri XV - Pesaro, in folio. 1690 Viviani Vincenzo - Elementi piani e solidi di Euclide - Firenze, in 12ř. 1731 Grandi Guido - Elementi geometrici piani e solidi - Firenze, in 8ř. 4. `Sommario degli Elementi.' Il `libro primo' comprende i primi elementi della geometria piana. Esso inizia con un elenco di 23 termini, 5 postulati, 8 nozioni comuni che vengono utilizzati in tutta l'opera. Seguono 48 proposizioni delle quali le prime 28 non fanno uso del 5ř postulato (delle parallele). Le proposizioni del primo libro riguardano i teoremi sulla congruenza dei triangoli; costruzioni semplici con riga e compasso; relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo; propriet… delle rette parallele e loro conseguenze, come l'affermazione che la somma degli angoli di un triangolo Š uguale a due angoli retti (prop. 32); teoremi e costruzioni relative ai parallelogrammi e, infine, una dimostrazione del teorema di Pitagora e del suo inverso (Prop. 47 e 48), indipendentemente dai teoremi di similitudine (teoria delle proporzioni). Il `secondo libro' consta di 14 proposizioni; nelle prime 10, mediante uguaglianze tra rettangoli, vengono stabilite identit… equivalenti a: --- (a+b)(a-b)=a^2-b^2 (Prop. 3) --- (a+b)^2=a^2+b^2+2ab (Prop. 4) --- ab+[a-(a+b)/2]^2=[(a+b)/2]^2 (Prop. 5) --- (a-b)^2=a^2+b^2-2ab (Prop. 7) La proposizione 11 d… una costruzione della sezione aurea di un segmento. Seguono le generalizzazioni del teorema di Pitagora ai triangoli acutangoli e ottusangoli. Il `libro terzo' contiene 37 proposizioni precedute dalle definizioni di 11 termini e riguarda la geometria del cerchio. Dato un cerchio se ne costruisce il centro; si studiano le posizioni reciproche di una retta e un cerchio e di due cerchi; le propriet… delle corde e delle tangenti; le relazioni tra angoli e archi e tra angoli al centro e angoli alla circonferenza. Il `libro quarto' comprende 16 proposizioni precedute da 7 termini nelle quali si studia come inscrivere e circoscrivere ad un cerchio un triangolo, un quadrato, un pentagono regolare e come costruire un esagono e un pentadecagono (15 lati) inscritti in un cerchio. Il `libro quinto' ha un carattere pi— generale dei precedenti ed Š dedicato alla `teoria delle proporzioni'. Le definizioni di 18 termini precedeno le dimostrazioni delle 25 proposizioni. Il loro contenuto si pu• porre in termini di uguaglianze e disuguaglianze tra rapporti; cosŤ facendo si trovano, tra l'altro, i teoremi: --- se a/b=c/d allora: c/a=b/d (Prop. 16) (a-b)/b=(c-d)/d (Prop. 17) (a+b)/b=(c+d)/d (Prop. 18) (a-c)/(b-d)=a/b (Prop. 19) --- se a/b=d/e e b/c=e/f allora a/c=d/f (Prop. 22) --- se a/b=c/d, a>b, a>c allora a+d>b+c (Prop. 25). Nel `libro sesto' la teoria generale delle proporzioni viene applicata allo studio dei poligoni simili. Nelle 33 proposizioni (precedute da 4 termini) si provano: i teoremi di similitudine dei triangoli; teoremi di proporzionalit… tra elementi di parallelogrammi; una nuova costruzione della sezione aurea di un segmento (Prop. 31) e una nuova dimostrazione del teorema di Pitagora (Prop. 32); il teorema di proporzionalit… tra gli angoli al centro e alla circonferenza e gli archi sui quali insistono (Prop. 33). Il `libro settimo' comprende 39 proposizioni riguardanti l'aritmetica. Vengono studiati il massimo comun divisore (Prop. 1-3), il quoziente di due numeri (numeri primi tra di loro), i numeri primi, il minimo comune multiplo (Prop. 34-37). I `libri ottavo e nono' trattano le propriet… delle potenze, delle progressioni geometriche e di questioni di teoria dei numeri; ad esempio: --- (ab)^m=a^mb^m (VIII, 11, 12; IX, 4) --- (a^m)^n=a^(mn) (VIII, 13; IX, 3, 9) --- a^(m+n)=a^ma^n (IX, 11). La proposizione 20 del libro IX afferma l'esistenza di infiniti numeri primi, la proposizione 35 del libro IX d… le somme (parziali) di una progressione geometrica, la proposizione 36 d… la regola per trovare i numeri perfetti (numeri che sono la somma dei loro divisori propri). Il `libro decimo' Š il pi— lungo e complesso degli Elementi; esso riguarda lo studio degli irrazionali del tipo: űm, űűn, űmńűn, ű(űmńűn) ove m ed n sono numeri razionali; tuttavia il modo di esporre questa teoria differisce profondamente da quello moderna, e questo non soltanto nella terminologia esclusivamente geometrica. Sono da notarsi la risoluzione in numeri interi dell'equazione x^2+y^2=z^2 e l'identit… (m^2>n): ű(mńűn)=ű{m+ű[(m^2-n)/2]}ńű{m-ű[m^2-n)/2]}. Un sommario, in simboli, del libro X di Euclide Š stato fatto da G. Peano (Rivista di Matematica, 2 (1892) pp. 7-11 o anche `Opere' a cura dell'U.M.I.). Con il `libro undicesimo' si ritorna agli argomenti pi— familiari degli Elementi. Questo libro inizia con la definizione di 18 termini in cui si fissano le grandezze della geometria solida: angolo solido, prisma, sfera, cono, cilindro, solidi regolari. Le proposizioni sono 39; le prime riguardano le posizioni reciproche di rette e piani: se due piani si tagliano la loro intersezione Š una retta (Prop. 3), i piani ai quali una retta Š perpendicolare sono paralleli (Prop. 14). Seguono alcuni teoremi sui diedri e gli angoli solidi (angoloidi): ogni angolo solido Š compreso tra angoli piani la cui somma Š minore di quattro angoli retti (Prop. 21); infine sono stabiliti risultati sull'equivalenza di parallelepipedi e prismi. Il `libro dodicesimo' comprende 18 proposizioni; la seconda stabilisce che i cerchi stanno tra loro come i quadrati dei diametri. Vengono poi la scomposizione di un prisma triangolare in tre piramidi uguali (Prop. 7); la dimostrazione che un cono Š la terza parte del cilindro avente la stessa base e la stessa altezza (Prop. 10). Conclude il libro la proposizione che le sfere stanno tra loro come i cubi dei loro diametri. Anche il `tredicesimo libro' consta di 18 proposizioni. Le prime proposizioni riguardano alcune propriet… della sezione aurea in relazione con i lati di alcuni poligoni regolari. Seguono poi i teoremi sui poliedri: iscrivere una piramide in una sfera (Prop. 13), iscrivere in una sfera un ottaedro (Prop. 14), un cubo (Prop. 15), un icosaedro (Prop. 16), un dodecaedro (Prop. 17); la proposizione 18, infine, Š dedicata al confronto dei poliedri regolari. 5. `Lettori ai quali il libro pu• interessare.' Gli Elementi di Euclide coprono, come si Š visto, un campo molto vasto delle matematiche elementari non solo per quanto riguarda la geometria, cosiddetta euclidea, ma anche per l'algebra elementare e la teoria dei numeri. Agli Elementi possono quindi fare riferimento quanti, docenti e studenti, vogliono rapportarsi criticamente alle matematiche nel loro divenire storico. Spunti di collegamento con le discipline umanistiche non mancano, anzi lo studio degli Elementi conduce naturalmente ai problemi filologici del ripristino di un testo originale e dello studio dei termini scientifici nell'antichit… classica. Inoltre si pu• indagare la collocazione dell'autore nell'ambito del pensiero greco e aprire il discorso sul latino rinascimentale delle prime traduzioni (il latino Š stato, fino al 1800, la lingua ordinariamente usata dagli scienziati nelle loro opere). Infine una curiosit… riguardo all'insegnamento per problemi: il primo libro degli Elementi si apre con tre problemi risolti con riga e compasso: dato un segmento costruire un triangolo equilatero avente questo come lato; per un dato punto costruire un segmento uguale ad uno assegnato; dati due segmenti disuguali togliere dal maggiore il minore. L. PEPE