CHRISTIAN FELIX KLEIN
da Momenti del pensiero matematico
di Carlo Felice Manara e Gabriele Lucchini
Mursia, Milano, 1976 (pagine 215-217 e 223)


   Il nome di Christian Felix Klein (1) occupa un posto di rilievo nella storia
della matematica, oltre che per le opere riguardanti vari rami di questa
scienza, anche per quella analisi metodologica che egli espose nella
"dissertazione inaugurale" pronunciata nel 1872 all'inizio dei suoi corsi presso
l'Universit… di Erlangen, dissertazione che oggi viene abitualmente richiamata
come "programma di Erlangen".
   Per capire quale sia l'importanza e la profondit… dell'analisi metodologica
di Klein occorre ricordare che quando pronunci• la sua dissertazione la
geometria aveva assunto un nuovo assetto, dovuto alla esistenza di varie
"geometrie"; in particolare la geometria proiettiva si era presentata alla
ribalta della scienza come una dottrina pi— generale della geometria euclidea,
intesa nel senso classico, ed erano anche apparse diverse ricerche, le quali
sviluppavano "geometrie" che apparivano come abbastanza "strane" e che si
presentavano in certo modo come episodiche e staccate tra loro.
   Il merito di Klein fu di presentare un'idea unificatrice, la quale
permetteva di dare una classificazione, e quindi una visione unitaria di tutti
questi capitoli della geometria, che si erano originariamente presentati come
abbastanza diversi e indipendenti tra loro.
   Lo strumento di cui si serve Klein per tale unificazione Š un concetto che
appartiene all'algebra (e che fu studiato in seguito ad un livello molto pi—
astratto rispetto a quello che Š stato presentato da Klein): il concetto di
"gruppo" che Klein presenta sotto la sua realizzazione concreta di "gruppo di
trasformazioni".
   Per capire ci• che intende Klein si pu• osservare che nello studio di
determinate figure geometriche il matematico prescinde, in modo del tutto
naturale, da certe realizzazioni concrete le quali particolarizzano la figura
stessa; per esempio quando si studia il "quadrato" si considera come del tutto
ovvio che le propriet… che interessano il matematico sono quelle che non si
riferiscono ad un particolare quadrato, realizzato per esempio con gesso bianco
su una lavagna nera, ma quelle comuni a tutti i quadrati che possono essere
rappresentati da quel quadrato, e cioŠ, a seconda dei casi, ai quadrati che
hanno lato di misura eguale a quella del particolare quadrato (indipendentemente
dalla loro posizione nello spazio, posizione nella quale si pu• sempre pensare
di averli mediante trasporto rigido) o addirittura a tutti i quadrati,
prescindendo dalla misura del lato, indipendentemente dalla loro posizione nello
spazio; qui oltre alla operazione di trasporto rigido pu• quindi esserci una
operazione di cambiamento di lunghezza del lato.
   Cos, per esempio, il fatto che le diagonali del quadrato siano uguali tra
loro e perpendicolari tra loro risulta vero per ogni quadrato, cioŠ per quello
che stiamo considerando e per ogni quadrato che si possa ottenere da quello con
una operazione di trasporto rigido oppure con un cambiamento di lunghezza dei
lati, che mantenga quella che viene di solito chiamata la "forma" della figura.
   Volendo presentare la stessa idea con altre parole, si potrebbe dire che per
il matematico Š indifferente considerare il quadrato in una posizione oppure in
un'altra, e, per certe propriet…, con una dimensione oppure con un'altra; in
quest'ultimo caso, tutti i vari quadrati, rispetto alle propriet… che
interessano il matematico, sono "equivalenti".
   Orbene questo concetto abbastanza vago di "indifferenza" oppure di
"equivalenza" fu precisato da Klein con il ricorso ad una struttura algebrica
precisa, che Š la struttura di "gruppo": egli considera come "equivalenti",
rispetto a certe propriet…, due figure le quali risultino trasformate l'una
nell'altra mediante le trasformazioni che appartengono ad un determinato gruppo.
   Ne consegue che le propriet… delle figure che interessano al matematico sono
quelle che risultano essere `invarianti' rispetto ad un determinato gruppo di
trasformazioni.
   Pensiamo, per esempio, ad un piano riferito ad un sistema di coordinate
cartesiane ortogonali; consideriamo due punti P e Q (distinti) quali si
vogliano nel piano; ciascuno di essi Š determinato da due coordinate.
   Se pensiamo di cambiare il sistema di assi cartesiani, ovviamnete le
coordinate dei punti cambiano.
   Tuttavia Š posssibile costruire mediante le coordinate dei due punti almeno
una funzione che non cambia quando si passi dal primo al secondo sistema di
riferimento: questa funzione esprime sostanzialmente la distanza tra i due punti
e costituisce per il fatto della sua invarianza, la prima propriet… veramente
fondamentale e "geometrica" della coppia di punti.
   Va osservato che secondo le idee di Klein Š anche possibile dare una
`classificazione' delle varie "geometrie", cioŠ delle varie dottrine
geometriche, facendo riferimento ad un determinato gruppo di trasformazioni,
il quale qualifica l'insieme delle propriet… invarianti che riguardano
(o interessano) una determinata "geometria". Si ottiene cos un criterio per la
classificazione dei vari rami della geometria e per unificare questi rami nel
loro insieme.
   Per esempio, la geometria euclidea (o geometria elementare, come si suole
dire) risulta caratterizzata dal fatto che le propriet… che essa studia sono
invarianti rispettivamente per il gruppo dei movimenti rigidi o per il gruppo
delle similitudini; la geometria proiettiva, che allora costituiva un ramo del
tutto nuovo della scienza, risulta caratterizzata dal fatto che le propriet… da
essa considerate sono invarianti per trasformazioni molto pi— generali delle
trasformazioni che caratterizzano la geometria elementare, e che si chiamano
omografie (2); tali sono per esempio le trasformazioni che si potrebbero
ottenere concretamente associando ad una figura piana la sua fotografia (priva
di aberrazioni) o la sua "ombra" ottenuta mediante una sorgente luminosa
puntiforme e proiettata su un piano che non sia parallelo al piano della figura
originale, o anche facendo fotografie di fotografie in modo qualsiasi.
   Va anche notato che, nel quadro di quella che viene chiamata la
"subordinazione" delle geometrie, la geometria euclidea risulta essere un caso
particolare della geometria proiettiva, perch‚ il gruppo delle omografie
contiene il gruppo delle similitudini, che contiene a sua volta quello dei
movimenti rigidi.
   Il passo che segue (limitato alle prime pagine di pi— agevole comprensione)
Š tratto dalla citata dissertazione dal titolo `Considerazioni comparative
intorno a ricerche geometriche recenti (Vergleichende Betrachtungen ber neuere
geometrische Forschungen)', nella traduzione datane da G. Fano (a sua volta
geometra di notevole valore) sugli "Annali di matematica pura e applicata",
serie II, t. XVII (1890), pagg. 307 e seguenti. Le note sono di F. Klein. In
particolare la nota 5 Š stata da lui aggiunta nella traduzione italiana. I due
matematici citati nel testo sono il norvegesre (Marius) Sophus Lie (1842-1899)
e il francese Camille Jordan (1838-1922).

---> trascrizione della parte iniziale del testo (K0, K1, K2 del  14).

   Si potrebbe dire infine che le idee di Klein hanno avuto influenza (o almeno
che si ritrovano) anche in altri campi della scienza e che possono aiutare anche
a capire e ad inquadrare certi atteggiamneti della ricerca scientifica
posteriore.
   Infatti nel quadro delle idee che abbiamo esposto si potrebbe inserire anche
la ricerca di propriet… degli enti che si potrebbero chiamare "obbiettive" di
fronte alle scelte dei sistemi di riferimento e quindi ai cambiamenti di sistemi
di riferimento.
   Pensiamo ad esempio ad un osservatore O, che descrive i fenomeni della fisica
mediante un determinato sistema di riferimento spazio-temporale, e pensiamo
anche ad un altro osservatore O', il quale d… la sua descrizione dei fenomeni
della fisica con il suo riferimento spazio-temporale.
   Possiamo capire che le coordinate spazio-temporali attribuite da ciascuno
degli osservatori ad un medesimo fenomeno sono in generale variabili con i
riferimenti (e quindi con gli osservatori); le cose che hanno un vero
significato fisico sono quelle che risultano espresse in modo invariante
rispetto a tutti i cambiamenti di sistema di riferimento che esprimono il
cambiamento delle leggi quando si passi da un osservatore ad un altro.
   Queste idee sono fondamentali per la comprensione di quella impostazione
teorica che Š alla base della teoria della relativit… einsteiniana; si potrebbe
dire addirittura che queste idee hanno influenzato anche la presentazione
"geometrizzante" che Einstein stessso ha adottato nella esposizione delle
proprie teorie.



(1) Nato a Dsseldorf nel 1849, nel 1872 divenne professore di matematica
all'Universit… di Erlangen dove rimase fino al 1875, poi insegn• a Monaco e fu
professore alle Universit… di Lipsia (1880-1886) e di Gottinga (1886-1913). Dal
1872 fu tra i responsabili degli `Annali matematici' di Gottinga e nel 1895
fond• la grande `Encyklopaedie' matematica. Mor a Gottinga nel 1925.

(2) Le omografie sono le pi— generali trasformazioni che portano rette in rette
(e piani in piani).