CONSIDERAZIONI COMPARATIVE INTORNO A RICERCHE GEOMETRICHE RECENTI. (`Di' FELICE KLEIN [`a G”ttingen']). (*) ------ `Programma pubblicato in occasione dell'accoglimento nella Facolt… filosofica e nel Senato dell'Universit… di Erlangen, 1872,' tradotto da GINO FANO ------ Fra i risultati ottenuti negli ultimi cinquant'anni nel campo della Geometria occupa il primo posto lo sviluppo della `Geometria Proiettiva' (v. nota I). Bench‚ da principio le cosŤ dette relazioni metriche, non conservandosi invariate nelle proiezioni, sembrassero inaccessibili a questa disciplina, tuttavia recentemente si Š riusciti ad abbracciarle anch'esse sotto il punto di vista proiettivo, di modo che ora i metodi proiettivi comprendono tutta quanta la geometria. Solo che le propriet… metriche vi compaiono non pi— come propriet… degli oggetti in s‚, ma come relazioni fra essi ed una forma fondamentale, il cerchio immaginario all'infinito (delle sfere). Confrontando le nozioni della geometria ordinaria (elementare) con questo metodo, introdottosi gradualmente, di considerare le forme dello spazio, sorge la questione, se esista un principio generale, secondo cui ambo i metodi potrebbero organizzarsi. Tale questione appare tanto pi— importante, in quanto che accanto alla geometria elementare ed alla proiettiva si presenta una serie di altri metodi ai quali, con tutto che meno sviluppati, convien concedere pari diritto di esistenza autonoma. Tali sarebbero la geometria dei raggi reciproci, quella delle trasformazioni razionali, ecc. le quali saranno in seguito menzionate ancora ed esposte. Coll'assumerci di stabilire in seguito un sŤ fatto principio noi non veniamo certo a sviluppare alcuna idea essenzialmente nuova, ma solo delineiamo con chiarezza e precisione ci• che fu gi… pensato da taluno con pi— o meno esattezza. Ma il pubblicare siffatte considerazioni comprensive appariva tanto pi— giustificato, in quanto che la geometria, che pur Š unica nella sua sostanza, nel rapido sviluppo cui and• soggetta negli ultimi tempi si Š troppo suddivisa in discipline quasi separate (v. nota II), che vanno progredendo alquanto indipendentemente le une dalle altre. Aggiungasi a ci• l'intenzione particolare di esporre metodi e punti di vista che vennero svolti in lavori recenti di LIE e miei. I nostri lavori, per quanto fosser diversi gli oggetti a cui si riferivano, pure d'accordo sono entrati in questo modo generale di considerazione, sicch‚ era una specie di necessit… di discutere finalmente anche questo, caratterizzando dal suo punto di vista contenuto e tendenza di quei lavori. Bench‚ finora siasi parlato di sole ricerche geometriche, pure vi si devono intender comprese quelle relative a variet… comunque estese, le quali si sono svolte dalla geometria coll'astrarre dalla rappresentazione nello spazio, rappresentazione non essenziale per le considerazioni puramente matematiche (v. note III e IV). Nello studio delle variet… vi sono appunto dei tipi differenti come in geometria, e si tratta, come in geometria, di mettere in rilievo ci• che v'ha di comune e di diverso in ricerche intraprese indipendentemente le une dalle altre. In via astratta, basterebbe in seguito parlare semplicemente di variet… pi— volte estese; ma, collegandola alle rappresentazioni geometriche pi— familiari, l'esplicazione si fa pi— semplice e pi— facilmente intelligibile. Partendo dalla considerazione dei corpi geometrici, e sviluppando sopra di essi, come esempio, le idee generali, battiamo la stessa via che ha percorsa la scienza nel suo sviluppo, e che di solito nell'esposizione torna maggior conto di mettere a base. Non Š possibile far qui un'esposizione preliminare della materia di cui ci occuperemo in seguito, poich‚ essa mal si adatta ad una forma pi— ristretta (1); i titoli dei paragrafi mostreranno il progresso generale del pensiero. Ho aggiunto alla fine una serie di note, nelle quali ho maggiormente sviluppati alcuni punti particolari, quando ci• mi sembrava utile all'esplicazione generale del testo, ovvero sono stato costretto a separare da quelli affini il principio astrattamente matematico conforme alle considerazioni del testo medesimo. (*) [Alla proposta del sig. SEGRE (+) di pubblicare negli Annali una traduzione del mio Programma del 1872 ho accondisceso tanto pi— volentieri, in quanto che il primo volume test‚ comparso della "`Theorie der Transformationsgruppen'" di LIE (Leipzig, 1888) potrebbe far sŤ che l'interesse dei geometri si rivolgesse maggiormente a siffatte discussioni. - La traduzione Š assolutamente letterale; nei due o tre passi in cui si sono mutate alcune parole si son racchiuse fra parentesi quadre [-] le nuove espressioni. Nello stesso modo si sono contrassegnate una serie di aggiunte sotto il testo, che solo ora vi furono introdotte. F. KLEIN.] (+) Le ragioni di questa proposta (messa poi ad esecuzione grazie al sig. FANO, studente nell'Universit… di Torino) non consistevano per me soltanto nell'interesse `storico' che a quest'opuscolo proviene dalla moltitudine di ricerche, specialmente del sig. KLEIN e della sua scuola, che pi— o meno direttamente s'ispirarono da quasi un ventennio alle vaste vedute ed ai profondi concetti in esso contenuti. Questo lavoro non Š, a mio avviso, abbastanza noto ai `giovani geometri italiani', ed Š specialmente per essi che ho desiderato si facesse questa ristampa. Tante idee generali ed ingegnose che si trovano in queste pagine, come l'identit… sostanziale fra varie discipline matematiche (ed in particolare fra discipline analitiche e geometriche!) che si rappresentano l'una sull'altra quando si tenga conto dei `gruppi di trasformazioni' che in esse si pongono a base; le varie considerazioni su questi gruppi; tante giuste osservazioni che mettono sotto la luce pi— vera e precisano nel miglior modo il carattere di vari argomenti e varie dottrine, e specialmente di alcune pi— discusse, come quella delle variet… pi— volte estese, e la geometria non euclidea: tutte queste son cose o non sufficientemente conosciute e studiate dai giovani, o note solo per via indiretta. Su esse mi sia permesso richiamare tutta la loro attenzione. Al prof. KLEIN pel consenso dato a questa traduzione, non che per la revisione e per le aggiunte fattevi e cosŤ pure al sig. Direttore degli Annali per l'ospitalit… gentilmente accordatale, i pi— vivi ringraziamenti del Traduttore e miei. C. SEGRE. (1) Questa concisione di forma Š un difetto dell'esposizione che faremo in seguito; difetto che, temo, render… pi— difficile l'intelligenza. Ma a ci• si sarebbe potuto ovviare solo con una trattazione molto pi— estesa, nella quale le singole teorie, qui appena accennate, fossero ampiamente svolte.  1. GRUPPO DI TRASFORMAZIONI DELLO SPAZIO. GRUPPO PRINCIPALE. SI PONE UN PROBLEMA GENERALE. Il concetto pi— essenziale fra quelli necessari per quanto esporremo in seguito Š quello di `gruppo' di trasformazioni dello spazio. Componendo assieme quante si vogliano trasformazioni dello spazio (1), si ha sempre di nuovo una trasformazione. Ora, se una data serie di trasformazioni gode della propriet… che ogni trasformazione risultante da composizione di queste appartenga alla serie medesima, chiameremo quest'ultima un `gruppo di trasformazioni' (2) (3). Un esempio di gruppo di trasformazioni ci Š dato dal complesso dei movimenti (considerando ogni movimento come un'operazione eseguita su tutto lo spazio). Un gruppo contenuto in questo Š per es. quello delle rotazioni attorno ad un punto (4). Al contrario, un gruppo che comprende quello dei movimenti Š costituito dall'insieme delle collineazioni. Invece il complesso delle trasformazioni reciproche non forma alcun gruppo, - perch‚ due reciprocit… assieme dan luogo ad una collineazione -; si ha per• un gruppo considerando il complesso di tutte le trasformazioni reciproche e collineari (5). Ora vi sono nello spazio delle trasformazioni che non alterano affatto le propriet… geometriche dei corpi. Infatti, per la natura del concetto di propriet… geometriche, queste sono indipendenti dalla posizione che la figura da studiare occupa nello spazio, dalla sua grandezza assoluta, e finalmente anche dal senso (6) in cui sono disposte le sue parti. Le propriet… di una tale figura rimangono dunque inalterate in tutti i movimenti dello spazio, nelle sue trasformazioni per similitudine, nel processo di riflessione (specchiamento), come pure in tutte le trasformazioni che risultano da composizioni di queste. Il complesso di tali trasformazioni lo chiameremo `gruppo principale' (7) di trasformazioni dello spazio: `le propriet… geometriche non si alterano nelle trasformazioni del gruppo principale'. E inversamente possiamo anche dire: `le propriet… geometriche sono caratterizzate dalla loro invariabilit… rispetto alle trasformazioni del gruppo principale'. Invero, se si considera per un istante lo spazio come immobile, ecc., come una variet… rigida, allora ogni figura avr… un interesse individuale; or bene, fra le propriet… ch'essa avr… come individuo, soltanto quelle propriamente geometriche si conserveranno nelle trasformazioni del gruppo principale. Questa nozione, formulata qui in modo un po' indeterminato, apparir… pi— chiara nel corso ulteriore delle considerazioni. Facciamo ora astrazione dall'immagine sensibile, matematicamente non essenziale, e consideriamo lo spazio semplicemente come una variet… pi— volte estesa, quindi a tre dimensioni se ci atteniamo alla solita rappresentazione del punto come elemento dello spazio. Per analogia colle trasformazioni dello spazio parliamo di trasformazioni della variet…; anch'esse formano dei `gruppi'. Solo che non c'Š pi— come nello spazio un gruppo distinto dagli altri pel suo significato; ogni gruppo Š equivalente ad ogni altro. Come generalizzazione della Geometria sorge cosŤ il seguente problema comprensivo: `E` data una variet… e in questa un gruppo di trasformazioni; studiare le forme appartenenti alla variet… per quanto concerne quelle propriet… che non si alterano nelle trasformazioni del gruppo dato.' Secondo l'espressione moderna, la quale per• non si suol riferire che ad un determinato gruppo, quello di tutte le trasformazioni lineari, possiamo anche dire cosŤ: `E` data una variet… e in questa un gruppo di trasformazioni. Si sviluppi la teoria invariantiva relativa al gruppo medesimo.' Questo Š il problema generale che comprende in s‚ non solo la geometria ordinaria, ma anche e in particolare i nuovi metodi geometrici che qui dobbiamo nominare, e le diverse maniere di trattazione delle variet… comunque estese. Ci• che conviene pi— specialmente notare si Š l'arbitrariet… che sussiste in quanto alla scelta del gruppo di trasformazioni da fissare; e l'egual diritto, che ne segue e che in questo senso va inteso, di tutte le specie di considerazioni che si raccolgono sotto quel punto di vista generale. (1) Noi supponiamo sempre soggetto simultaneamente alle trasformazioni tutto il complesso delle figure dello spazio, e parliamo perci• semplicemente di trasformazioni dello spazio. Le trasformazioni possono introdurre in luogo dei punti altri elementi, come fanno per es. quelle reciproche; ma su ci• nel testo non si fa distinzione. (2) [Questa definizione vuole ancor essere completata. Vale a dire, nei gruppi del testo si suppone tacitamente che essi, accanto ad ogni operazione che abbiano a contenere, ne contengano altresŤ sempre l'inversa; ora questo, nel caso che le operazioni siano in numero infinito, non Š punto una conseguenza del concetto di gruppo come tale; la nostra supposizione doveva quindi aggiungersi espressamente alla definizione di questo concetto data nel testo.] (3) La nozione e la denominazione si sono prese dalla `teoria delle sostituzioni', nella quale per• in luogo delle trasformazioni di un campo continuo compaiono gli scambi di un numero finito di grandezze discrete. (4) CAMILLE JORDAN ha determinato in generale tutti i gruppi contenuti in quello dei movimenti: `Sur les groupes de mouvements'. Annali di Matematica, t. II. (5) Non Š punto necessario, come per• si verificher… sempre per i gruppi di cui faremo menzione nel testo, che le trasformazioni di un gruppo formino una successione continua. Costituisce un gruppo per es. anche la serie finita di movimenti che possono far sovrapporre un corpo regolare a s‚ stesso, ovvero la serie infinita ma discreta di quelli che sovrappongono una sinussoide a s‚ medesima. (6) Per "senso" intendo qui la propriet… dell'ordinamento, su cui si fonda la la differenza della figura simmetrica (immagine riflessa). Quindi ad es. si distinguono riguardo al senso un'elica destrorsa ed una sinistrorsa. (7) Che queste trasformazioni formino un gruppo Š necessario in causa della loro stessa definizione.  2. I GRUPPI DI TRASFORMAZIONI DI CUI L'UNO ABBRACCIA L'ALTRO VENGONO SUBORDINATI FRA LORO. DIVERSI TIPI DI RICERCHE GEOMETRICHE E LORO RECIPROCA RELAZIONE. Poich‚ le propriet… geometriche dei corpi rimangono inalterate in `tutte' le trasformazioni del gruppo principale, cosŤ, considerato da s‚ solo, Š assurdo il ricercare quelle loro propriet… per cui ci• si verifica soltanto rispetto ad una parte delle trasformazioni stesse. Ma il porre una tale questione diventa giustificato, quantunque solo `formalmente', se noi studiamo le forme dello spazio in relazione ad elementi immaginati fissi. Consideriamo ad es., come nella trigonometria sferica, gli enti geometrici con speciale riguardo ad un punto fisso. Allora la questione Š anzitutto questa: Sviluppare le propriet… invariantive, rispetto al gruppo principale fissato, non pi— dei corpi a s‚, ma del sistema formato da essi e dal punto dato. Ma una tale questione possiamo metterla anche sotto quest'altra forma: Si studino le forme dello spazio in s‚ per quanto concerne le propriet… che non si alterano in quelle trasformazioni del gruppo principale che conservano fisso il punto proposto. In altri termini: E` indifferente di studiare le forme dello spazio in relazione al gruppo principale, e aggiunger loro il punto dato, ovvero, senza aggiunger loro nulla di dato, di sostituire al gruppo principale quell'altro in esso contenuto, le cui trasformazioni lasciano inalterato il punto medesimo. E` questo un principio del quale spesso si fa uso in seguito, e che perci• enunceremo qui subito in generale, per es. nel modo seguente: Sia data una variet… e, per la sua trattazione, un gruppo di trasformazioni ad essa relativo. Si ponga il problema di studiare le forme contenute nella variet… in relazione ad una data forma. `Allora noi possiamo o aggiungere al sistema delle forme quest'ultima data, e allora si richiederanno le propriet… del sistema cosŤ esteso in relazione al gruppo proposto; - ovvero non estendere il sistema, ma limitare le trasformazioni che si mettono a base della trattazione a quelle contenute nel gruppo medesimo che lasciano inalterata la proposta forma (e che necessariamente costituiscono ancora un gruppo).' Contrariamente alla questione sollevata al principio del paragrafo, occupiamoci adesso dell'inversa, che si pu• comprendere fin d'ora. Cerchiamo quali siano le propriet… dei corpi che si conservano in un gruppo di trasformazioni comprendente quello principale come parte. Ogni propriet… che troviamo in una tale ricerca Š una propriet… geometrica del corpo a s‚, ma la reciproca non sussiste. In questa entra invece in vigore il principio test‚ riportato, nel quale ora il gruppo principale Š il meno esteso. Si ha quindi: `Sostituendo al gruppo principale un altro gruppo pi— ampio, le propriet… geometriche si conservano solo in parte. Le rimanenti appaiono come propriet…, non pi— dei corpi a s‚, ma del sistema che risulta aggiungendo a questi ultimi una forma speciale. Questa forma speciale (per quanto pu• essere determinata' (1)`) Š definita dal fatto che, supposta fissa, concede allo spazio, fra le trasformazioni del gruppo proposto, solo quelle del gruppo principale.' Su questa proposizione riposa ci• che hanno di particolare i nuovi indirizzi geometrici che qui dobbiamo discutere, e il loro rapporto al metodo elementare. Il loro carattere Š appunto quello di porre a base delle considerazioni, in luogo del gruppo principale, un altro gruppo pi— esteso di trasformazioni dello spazio. La loro reciproca relazione Š determinata da una proposizione analoga, finch‚ i loro gruppi si comprendono l'un l'altro. Questo vale anche per i diversi metodi di trattazione di variet… pi— volte estese che dobbiamo considerare. Ci• verr… ora mostrato pei singoli metodi, sui quali i teoremi stabiliti in generale in questo paragrafo e nel precedente troveranno spiegazione in oggetti concreti. (1) Si genera per es. una tal forma applicando le trasformazioni del gruppo principale a un elemento originale arbitrario, che non resti invariato in alcuna delle trasformazioni del gruppo proposto.