SCHEDA DI ALBERTO CONTE SUI "FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA" DI DAVID HILBERT Supplemento al Notiziario della Unione Matematica Italiana n. 7 del 1979 (con le variazioni segnalate in fondo) Autore: DAVID HILBERT Titolo: `Fondamenti della geometria' con i `Supplementi' di P. BERNAYS Introduzione all'edizione italiana di C. F. MANARA 273 pp., Feltrinelli, Milano, 1970 1^ Edizione Italiana: Feltrinelli, Milano, 1970 Traduzione: Pietro Canetta (condotta sul testo della decima edizione) Titolo originale: Grundlagen der Geometrie B. G. Teubner, Leipzig 1899 Decima edizione: B. G. Teubner, Stuttgart 1968 Classificazione CDU: 5.1.3 Classificazione ZDM: 5.1, 5.3, 5.4 INDICE: pag. vii Introduzione all'edizione italiana di C. F. Manara " xxv Prefazione alla decima edizione di P. Bernays " xxvii Citazione di I. Kant " 1 Introduzione " 3 Capitolo primo - I cinque gruppi di assiomi. " 34 Capitolo secondo - La non-contraddittorieta` e indipendenza relativa degli assiomi. " 52 Capitolo terzo - La teoria delle proporzioni. " 71 Capitolo quarto - La teoria dell'equivalenza nel piano. " 85 Capitolo quinto - Il teorema di Desargues. " 106 Capitolo sesto - Il teorema di Pascal. " 117 Capitolo settimo - Le costruzioni geometriche sulla base degli assiomi I-IV. " 126 Conclusione Appendici. " 131 1. Sulla linea retta come minima congiungente di due punti. " 137 2. Sul teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele. " 162 3. Un nuovo modo di fondare la geometria di Bolyaj- Lobatcevskij. " 180 4. Sui fondamenti della geometria. " 226 5. Sulle superficie di curvatura gaussiana costante. " 239 Supplementi 1-5 di P. Bernays. " 267 Indice analitico 1. - `Obiettivi dichiarati dall'autore.' "La geometria richiede --- come anche l'aritmetica --- per venire fondata in modo coerente, solo poche, semplici proposizioni fondamentali. Queste proposizioni fondamentali si chiamano gli assiomi della geometria. L'esposizione degli assiomi della geometria e l'indagine sui loro mutui rapporti costituiscono un problema che e` stato discusso sin dai tempi di Euclide, in numerosi ottimi trattati della letteratura matematica. Il problema indicato porta all'analisi logica della nostra intuizione dello spazio. La presente ricerca e` un nuovo tentativo di stabilire per la geometria un sistema di assiomi completo ed il piu` semplice possibile e dedurre dai medesimi le proposizioni geometriche piu` importanti, in modo tale da mettere chiaramente in luce il significato dei diversi gruppi di assiomi e la portata delle conseguenze da trarre dai singoli assiomi.". Con queste semplici parole, nel 1899, David Hilbert presentava la sua opera sui fondamenti della geometria, che doveva in breve tempo assurgere al rango di classico della matematica di tutti i tempi. Le ricerche hilbertiane costituiscono il punto di arrivo di una serie di sviluppi che avevano avuto inizio con la scoperta delle geometrie non-euclidee. Veniva cosi` messa in crisi la concezione, risalente ad Euclide e rimasta sostanzialmente invariata fino all'inizio dell'800, secondo cui gli assiomi geometrici costituivano verita` evidenti concernenti lo spazio fisico. La compatibilita` della negazione dell'assioma euclideo delle parallele con gli altri assiomi della geometria messa in luce dalle ricerche di Gauss, Lobatchevskij e Bolyai apriva invece la porta alla possibilita` di costruzione di piu` geometrie diverse la cui applicabilita` al mondo fisico si riduceva in definitiva a una questione di verifica sperimentale. Da questo punto di vista, anche i termini primitivi su cui si basa tutto l'edificio di una geometria, come "punto", "retta", "piano", ecc., non risultano piu` definiti univocamente, ma possono essere applicati a qualunque insieme di enti che soddisfino agli assiomi. Questa nuova concezione di una teoria matematica (in particolare, della geometria) come sistema formale costruito a partire da un insieme di termini primitivi non definiti e da una serie di assiomi non-contradditori fra loro dai quali i teoremi vengono derivati in virtu` di regole puramente deduttive fu elaborata nell'800 attraverso le ricerche di numerosi matematici (Pasch, Frege, Poincare', Peano, ecc.) e trovo` il suo piu` convinto assertore in Hilbert, che la pose alla base del suo programma di rifondazione della matematica. Da questo punto di vista, i `Fondamenti della geometria' costituiscono un esempio insuperato di applicazione del metodo assiomatico e il modello a cui, a partire dalla loro pubblicazione, tutti i matematici si sono sempre ispirati per il rigore e la semplicita` della loro impostazione. Tuttavia, il gusto geometrico di Hilbert traspare anche al di sotto del formalismo e cosi` il libro non si riduce a un arido elenco di assiomi e di teoremi, ma riesce sempre a tener vivo l'interesse del lettore che trova a ogni passo applicazioni ed esempi significativi ed originali. 2.- `Lettori a cui il libro puo` interessare.' Il libro per essere apprezzato richiede una certa maturita` matematica, anche se tratta per la maggior parte di questioni elementari di geometria. Esso potra` percio` essere usato con profitto soltanto nelle ultime classi degli istituti superiori, sia per integrare, o anche sostituire, i manuali di geometria, sia per fornire un esempio della nuova concezione della matematica che si fa strada alla fine dell'800 in collegamento con la crisi dei fondamenti. In quanto tale, esso puo` interessare anche agli insegnanti di filosofia che intendano affrontare questi problemi. 3. `Contenuti principali e struttura del volume.' Il libro si apre: --- con l'introduzione di C. F. Manara, in cui i `Grundlagen' di Hilbert vengono inquadrati storicamente nel contesto dello sviluppo della geometria, --- con la prefazione alla decima edizione di P. Bernays, in cui vengono indicate le differenze e le aggiunte rispetto alle edizioni precedenti, --- e con la introduzione di Hilbert che abbiamo citato in precedenza. Nel primo capitolo sono introdotti gli assiomi su cui si basa il sustema di Hilbert. Essi sono divisi in cinque gruppi: I. assiomi di `collegamento' (8 assiomi); II. assiomi di `ordinamento' (4 assiomi); III. assiomi di `congruenza' (5 assiomi); IV. assioma delle `parallele'; V. assiomi di `continuita`' (2 assiomi). Per ciascuno di questi gruppi sono poi dimistrati i teoremi piu` importanti che si possono ricavare usando soltanto gli assiomi del gruppo o quelli del gruppo insieme a quelli dei gruppi precedenti. Il secondo capitolo tratta del problema dell'indipendenza e della non-contraddittorieta` degli assiomi. Quest'ultima viene ricondotta alla non-contraddittorieta` dell'aritmetica mediante l'interpretazione degli assiomi nel piano affine costruito su un corpo di numeri algebrici, mentre l'indipendenza e` provata costruendo delle interpretazioni dei concetti primitivi in cui valgono tutti gli assiomi tranne uno. Nel terzo capitolo viene sviluppata la teoria delle proporzioni, dimostrato il teorema di Pappo-Pascal ed elaborato, sulla sua base, il calcolo dei segmenti. Il capitolo successivo e` dedicato alla teoria dell'equivalenza nel piano. Nel quinto capitolo viene dimostrato il teorema di Desargues nel piano ed elaborato sulla base di esso un nuovo calcolo dei segmenti. Nel capitolo successivo si dimostra l'equivalenza tra la validita` del teorema di Pappo-Pascal e la commutativita` della moltiplicazione nel calcolo dei segmenti e si prova che il teorema di Desargues puo` essere dedotto da quello di Pappo-Pascal. Il settimo capitolo, infine, tratta delle costruzioni geometriche con riga e compasso ad apertura fissa. Le cinque appendici, alcune delle quali sono articoli di Hilbert comparsi in epoca successiva alla prima edizione, affrontano vari problemi connessi con le questioni trattate nel testo. I `Supplementi' di P. Bernays, scritti dopo la pubblicazione dell'8^ edizione, trattano di alcune dipendenze all'interno del sistema di assiomi per i numeri reali, di una nuova enunciazione semplificata della teoria delle proporzioni, della teoria dell'estensione superficiale, della possibilita` di eliminare gli assiomi di ordinamento nella dimostrazione del teorema di Desargues, delle geometrie "non-pitagoriche" esposte da Hilbert nella seconda appendice e della possibilita` di dedurre l'assioma di congruenza piu` ampio da quello piu` ristretto insieme con un assioma di inclusione. 4.- `Prerequisiti e difficolta` di lettura.' Pur trattando di argomenti elementari, la lettura del libro richiede una certa dimestichezza con la geometria affine e con la geometria proiettiva, in quanto molte delle dimostrazioni sono soltanto accennate e fanno riferimento a risultati dati per noti. Tuttavia, la chiarezza e la precisione di Hilbert sono tali che molti dei lettori si accorgeranno di essere riusciti per la prima volta a penetrare in profondita` argomenti che gia` credevano di conoscere, e questo con molta maggior rapidita` di quanto non fossero abituati dalla lettura dei prolissi e imprecisi manuali di geometria che vengono ancosa spesso usati nelle nostre scuole. 5.- `Aspetto grafico.' Il libro e` curato e privo di errori. L'iconografia riproduce quella, essenziale ma sufficiente, dell'edizione originale. 6.- `Possibilita` di utilizzazione da parte degli studenti.' Il libro non puo` essere usato direttamente dagli studenti senza l'aiuto dell'insegnante per i motivi che abbiamo indicato sopra. Esso si presta comunque molto bene per un lavoro di ricerca guidata, finalizzato alla comprensione della struttura del sistema assiomatico su cui si basa la geometria. A. CONTE ---------- VARIAZIONI APPORTATE NELLA TRASCRIZIONE --- ricomposizione di parole spezzate in fine di riga, --- eliminazione di sottolineature, sostituite con ` ', --- B. G. Teubner, Leipzig 1899 invece di B. N. Teubner, Stuttgart 1899, --- aggiunta di "citazione", "conclusione" e "indice analitico" nell'indice, --- aggiunta di "," in "Milano, 1970" [lasciando l'ordine della scheda]. Sono possibile alcune osservazioni, sulle quali non pare necessario soffermarsi.