Gabriele Lucchini

Considerazioni su "MATEMATICA E STUDI UNIVERSITARI"
per il CD-ROM della Facoltà di Scienze dell'Università degli Studi di Milano ^{1, 2}
(bozza del 2 settembre 2002)

1. L'idea di Matematica

1.1   Introduzione
Per avviare la riflessione sulla Matematica e sullo studio della Matematica
nei corsi di laurea denominati "Matematica" e "Matematica per le applicazioni"
nella Facoltà di Scienze dell'Università degli Studi di Milano,
si può partire da nove domande,
che (nella sostanza) gli interessati dovrebbero avere già preso in considerazione:
--- Perché fare l'università? ³
--- Perché iscriversi a un corso di laurea dedicato alla Matematica?
--- Se ci si iscrive all'Università degli Studi di Milano,
      perché e come scegliere tra "Matematica" e "Matematica per le applicazioni"?
--- Quale imporanza dare a quello che "si vorrebbe" fare dopo la laurea triennale?
--- Quale si ritiene che sia l'immagine sociale, che la gente ha del matematico?
--- Le informazioni acquisite e utilizzate sono adeguate all'importanza della scelta?
--- Quale idea si ha di Matematica?
--- Che cosa si pensa che voglia dire studiare Matematica all'università?
--- Che cosa si pensa che possa fare un laureato in Matematica?

Nelle risposte alle domande si intrecciano, inevitabilmente, componenti personali
e dati e conoscenze sostanzialmente oggettivi, anche se variamente valutabili:
noi proporremo, come richiami o come novità, alcune indicazioni,
soprattutto in relazione agli oggetti delle ultime tre domande,
che portano a considerare aspetti essenziali,
anche in relazione alle situazioni particolari dei due predetti corsi di laurea
dell'Università degli Studi di Milano [nel seguito: UNIMI].

1.2   Spunti sull'idea di Matematica
Cominciamo con il considerare l'IDEA DI MATEMATICA,
perché è facile constatare che ci sono idee diverse di Matematica
ed è ragionevole ritenere che chiunque esca da una scuola superiore
abbia una "sua" idea di Matematica, più o meno chiaramente formulabile,
legata alle esperienze di studio, ai rapporti con gli insegnanti,
alle occasioni avute di incontro con la Matematica e di approfondimenti sulla Matematica ⁴.

Per rendersi conto della varietà di punti di vista basta considerare esempi di indicazioni di:
--- vocabolari generali,
--- vocabolari matematici,
--- enciclopedie,
--- "definizioni", commenti e dichiarazioni di matematici,
--- titoli di libri (di testo, specialistici, ...) e di articoli di o su Matematica,
--- testate di riviste di o su Matematica,
--- indici,
del tipo di quelli segnalati nell'allegato 1.

Per rendersi conto della varietà di occasioni di incontro e di approfondimenti
basta considerare alcuni degli stimoli, che si possono riconoscere in esempi di:
--- testi letterari,
--- illustrazioni, quadri e altre opere artistiche,
--- studi su prospettiva, musica, ...,
--- problemi e applicazioni della Matematica,
del tipo di quelli segnalati nell'allegato 1.

1.3   Orientarsi tra opinioni e occasioni
Ovviamente, orientarsi nella varietà di opinioni e di occasioni
richiede tempo e impegno,
anche per l'intreccio tra elementi operativi, formativi, culturali:
inizialmente, è importante rendersi conto
dell'esistenza e della vastità del problema
e della necessità di studi per acquisire elementi adeguati,
in relazione all'interesse personale a costruirsi un'idea di Matematica
più o meno rispondente alla situazione attuale di questo settore del sapere,
anche perché di Matematica ci si può occupare in vari modi
e con obiettivi professionali o culturali diversi tra loro.

L'esistenza dei due corsi di laurea triennale dell'UNIMI
e di altri corsi di laurea triennali in altre sedi
(segnalati, in particolare, nel sito web ⁵ della Unione Matematica Italiana
http://www.dm.unibo.it/~umi/)
è un fatto chiaramente significativo in proposito:
non va, però, dimenticato che
sia il DM 4 agosto 2000 sulla "Determinazione delle classi delle lauree universitarie"
e sia il DM 28 novembre 2000 sulla "Determinazione delle classi delle lauree specialistiche"
prevedono un'unica classe di lauree in Matematica
(rispettivamente la 32 per le triennali e la 45/S per le specialistiche)
con le indicazioni segnalate nell'allegato 1.


2. Sulle strutturazioni della Matematica

2.1   Il DM 4 ottobre 2000
Della Matematica sono state date diverse strutturazioni:
qui interessa, anche per i collegamenti con i piani di studio,
quella relativa all'università italiana,
data col DM 4 ottobre 2000 sui "Settori scientifico-disciplinari" (cfr. allegato 1).
Per informazioni su altre strutturazioni della Matematica
e per indicazioni su strutturazioni del sapere
rimando all'allegato 1,
ricordando, qui, soltanto che la Biblioteca matematica "Giovanni Ricci" dell'UNIMI
utilizza prevalentemente il "Mathematics Subjet Classification" (MSC),
sul quale non pare necessario soffermarsi.

2.2   La Matematica nel DM 4 ottobre 2000
Nel DM 4 ottobre 2000 la Matematica è inserita soprattutto nell'area 01
delle Scienze matematiche e informatiche:
la principale esclusione è quella del settore (SECS-S/06) dei
Metodi matematici dell'economia e delle scienze attuariali e finanziarie
inseriti nell'area 13 delle Scienze economiche e statistiche ⁶.
Per l'elenco dei settori dell'area 01 e delle presentazioni, chiamate "declaratorie", cfr. allegato 1.


3. Sulle "grandi idee" nello sviluppo della Matematica

3.1   Sui problemi di conoscenza delle "grandi idee"
Uno degli aspetti affascinanti della Matematica,
come di altre discipline,
è il rapporto tra i problemi ai quali l'uomo ha cercato, o cerca, risposta
e le grandi idee che, in vari casi, hanno permesso di arrivare alle risposte,
a volte aprendo nuovi settori di studio.

Le grandi idee della Matematica hanno una sorte strana:
alcune divengono di uso così ovvio da nasconderne la grandezza,
altre non vengono nemmeno conosciute
e spesso nelle scuole ci si perde in aspetti secondari,
che nascondono gli elementi veramente significativi.

Come esempio del primo tipo si può considerare
il nostro sistema di numerazione posizionale con lo 0 (in base 10)
e al tempo che ha richiesto, per invenzione e diffusione;
come esempio del secondo tipo si può considerare
l'assiomatizzazione ⁷,
anche per quello che ha rappresentato e rappresenta per la consapevolezza sulla conoscenza.

3.2   L'approccio alle "grandi idee" e i corsi di laurea
L'approccio alle "grandi idee", che hanno caratterizzato e determinato lo sviluppo della Matematica,
è, ovviamente, uno dei compiti dei corsi di laurea,
con particolarizzazioni relative ai rispettivi obiettivi ufficiali.
anche perché, spesso, sono richieste adeguate conoscenze.

3.3   Alcune indicazioni iniziali
Come indicazioni iniziali,
sulle quali avviare riflessioni e approfondimenti,
si possono considerare, eventualmente utilizzando indicazioni dell' allegato 1:
--- l'idea di "dimostrazione matematica";
--- l'introduzione del "linguaggio matematico" e del "simbolismo";
--- la svolta metodologica della "Geometria analitica";
--- l'individuazione del ruolo della "assiomatizzazione" in senso moderno (cfr. sezione 3.1);
--- l'idea di "generalizzazione" e di "ampliamento".


4. Sapere e saper fare in Matematica

4.1   L'accesso al sapere matematico e l'università
La produzione di sapere matematico è stata ed è di dimensioni tali
da sorprendere la quasi totalità degli studenti in base alle esperienze di scuola secondaria
e da richiedere scelte di specializzazione
da parte di chi voglia approfondire studi specifici su questo sapere.

Gli studi corrispondenti alle attuali proposte universitarie
(lauree triennali, lauree specialistiche, dottorati, master, scuole di specializzazione)
sono rivolti a dare conoscenze di base, generali o settoriali,
per preparare a varie attività più o meno specialistiche
e più o meno "avanzate",
anche in relazione alle scelte personali,
non soltanto "amministrative" (corsi, piani di studio, ...)
ma anche di impegno di studio e di approfondimento.

4.2   Sapere e saper fare
È opportuno tenere ben presente
che in moltissime attività matematiche
si tratta non soltanto di "sapere"
ma anche, e a volte soprattutto, di "saper fare",
spesso con creatività e fantasia, oltre che con senso critico.

4.3   La mentalità matematica
Fin dalle lauree di primo livello si tratta
di individuare gli aspetti significativi dello studiare Matematica,
per sapere e per saper fare,
in generale e in singoli settori,
di rendersi conto di che cosa voglia dire "mentalità matematica",
nei suoi vari aspetti,
e per quali di questi aspetti si abbia interesse,
anche in relazione alle attività alle quali ci si vuole dedicare,
tenendo presente le possibilità di soddisfazione e di piacere personale
nello studiare Matematica o nel fare Matematica o nel risolvere problemi o nell'insegnare.

In effetti, procedendo negli studi ci si rende conto che,
anche se può avere un senso parlare di "mentalità matematica"
come particolarità metodologiche caratterizzanti
rispetto a "mentalità" legate ad altri settori del sapere,
non tutti i matematici hanno le stese caratteristiche,
in relazione sia ai settori nei quali lavorano e al modo nel quale lavorano
e sia al tipo di attività che svolgono.

E su questo si possono trovare, anche, "interpretazioni umoristiche"
del tipo di quelle segnalate nell'allegato 1.

4.4   Ricerca, applicazioni, insegnamento
Le principali attività alle quali preparano gli studi universitari in Matematica
possono essere ricondotte a tre filoni:
--- ricerca, in università o in altre sedi di lavoro,
      per ottenere nuovi risultati, che possono essere di vari livelli;
--- insegnamento, in università (abitualmente in collegamento con la ricerca)
      o nelle scuole (secondo la normativa vigente);
--- applicazioni, anche a livello creativo,
      di risultati noti dagli studi universitari o da studi successivi.

Temi di ricerca, risultati recenti, problemi aperti
saranno, ovviamente, oggetto di trattazione nei corsi di studio;
qui, basta ricordare che il Direttore del Dipartimento di Matematica
cura annualmente una relazione sulle attività locali,
che esistono premi internazionali e nazionali,
che indicazioni sono reperibili in riviste, libri e siti web,
che il predetto sito http://www.dm.unibo.it/~umi/
può essere preso come fonte anche per accessi a (altri) siti web.

Tenendo conto del già accennato collegamento abituale
tra insegnamento universitario e ricerca,
basta accennare, qui, alla possibilità di accesso
all'insegnamento nelle scuole che (attualmente) si chiamano "secondarie",
e cioè scuola media e scuole superiori.
Va ricordato che le relative modalità di accesso
sono attualmente in fase di riorganizzazione legislativa,
sia per quanto riguarda gli aspetti amministrativi
e sia per quanto riguarda gli aspetti culturali:
è senz'altro auspicabile che vengano chiariti in tempi brevi
i tipi di cattedre riguardanti la Matematica e i relativi programmi,
per gli inevitabili riferimenti per la preparazione professionale
e per riflessioni sull'attuale insoddisfazione per i risultati di apprendimento,
anche in relazione a ricerche, recenti o in atto,
sull'apprendimento e sull'insegnamento della Matematica.

Sulle attività relative alle applicazioni
indicazioni sono reperibili nelle presentazioni ufficiali
del corso di Laurea in Matematica per le applicazioni
e del Centro MIRIAM.


5. Sul metodo di studio in Matematica

5.1   Studiare e fare Matematica
Alcune delle indicazioni precedenti (cfr., in particolare, le sezioni 4.2 e 4.3)
stimolano a considerare come "studiare Matematica"
abbia caratteristiche ed esigenze particolari,
innanzitutto nei collegamenti tra sapere e saper fare
secondo una certa "mentalità".

5.2   Aspetti generali dello studiare in università
Ovviamente, chi intraprende studi universitari dovrebbe aver riflettuto
sulle "nuove" condizioni e modalità di studio:
la frequenza delle lezioni è o viene considerata spesso "libera",
i controlli degli esami sembrano lontani nel tempo,
le eventuali verifiche in itinere possono apparire un optional.
Ed è possibile che nelle scuole pre-universitarie
non si sia avvertita la necessità di acquisire un "metodo di studio".
Sul "metodo di studio" ci sono varie opinioni,
come sul senso dello studio (cfr. nota 3 della sezione 1.1);
per stimoli a riflessioni, si possono considerare:
--- l'uso di arte (e, nel primo, la cotrapposizione a scienza) nei due titoli
      --- La scienza dell'apprendimento e l'arte dell'insegnamento
            di Burrhus Frederic Skinner (1904-1990), conferenza del 1954,
            (cfr. "La tecnologia dell'insegnamento", Brescia, La Scuola, 1976⁴, pag. 37 e 48),
      --- L'arte di imparare di Alberto Oliverio,
            Milano, Rizzoli, 1999;
--- i rapporti tra lezioni-testi-impegno personale-discussioni/studio di gruppo;
--- le differenze tra studiare per superare gli esami e studiare per sapere e saper fare;
--- l'articolo segnalato nell'allegato 1.

Ovviamente, non va dimenticata l'importanza della tesi di laurea,
anche se è il lavoro conclusivo per la laurea
e se dovrà essere considerata in relazione a nuove caratteristiche.

5.3   Particolarità dello studiare Matematica
Come riferimento per il modo di studiare Matematica
si può prendere una significativa affermazione di Jean Baptiste Joseph (Baron) Fourier, che,
in Théorie analitique de la chaleurr (1822), della Matematica ha scritto, in particolare,
"Il suo attributo principale è la chiarezza: essa non ha simboli per le idee confuse"
e si può riflettere, rifacendosi più o meno direttamente a Cartesio,
su che cosa voglia dire avere "idee chiare e distinte" in Matematica.

In effetti, in Matematica occorre "capire"
e tenere ben presente il problema di "collegamenti" e "concatenazioni",
che comportano necessità particolari per una "utilizzazione" delle lezioni,
che non sia limitata a prendere nota di quello che viene trattato.

Ed è importante rendersi conto del fatto che la "comprensione"
deve avvenire, anche con letture integrative, a livelli diversi,
che, con ovvi riferimenti agli oggetti di studio,
possono essere chiamati di micro, meso e macro apprendimento.

Come esempio, nell'allegato 1 sono segnalate alcune considerazioni sul "Teorema di Pitagora".

5.4   Studio, attitudini, attività
Ricapitolando, si può osservare che lo studio della Matematica,
a livello di preparazione per attività professionali,
richiede anche attitudini,
oltre che impegno e disponibilità ad accettare e acquisire una particolare mentalità,
collegata alle scelte sul proprio futuro:
si rifletta, in particolare, sulle differenze tra studiare per
"capire",
"ripetere" all'esame,
"utilizzare" in applicazioni,
"saper esporre" per far apprendere,
andare avanti nella "ricerca".


6. Conclusione
Per concludere paiono ragionevoli un invito e un augurio:
l'invito a considerare seriamente la scelta di "studiare" Matematica,
l'augurio di farsi presto un'idea adeguata della Matematica,
che consenta di capire quanto è "bello" studiare Matematica
e come studiare Matematica sia occasione di arricchimento culturale e umano.

------
¹ Il Preside della Facoltà di Scienze dell'Università degli Studi di Milano ne ha affidato la realizzazione al CTU
    (Centro di servizio per le tecnologie e la didattica universitaria multimediale e a distanza dell'UNIMI).
² Riferimenti ufficiali sono il "Manifesto degli Studi" e le informazioni nel sito web http://www.mat.unimi.it.
³ Mi limito a segnalare le informazioni dell'allegato 2 (file principale e rimandi),
    riprese dalle pagine web http://www.mat.unimi.it/~lucchini,
    e a invitare a riflettere sul senso che si attribuisce al "sapere", eventualmente utilizzando gli stimoli dell'allegato 3.
⁴ Cfr. pagine citate in nota 3 (sezione d19).
⁵ Preferisco "sito web" a "URL (Uniform Resource Locator)".
⁶ Sull'elenco delle "aree" cfr. allegato 1.
⁷ Segnalo, in particolare, l'Introduzione di Carlo Felice Manara a
    Fondamenti della geometria di David Hilbert (Milano, Feltrinelli, 1970):
    ne ho preparato una trascrizione, che spero di essere autorizzato a inserire nelle pagine web citate in nota 3.