MATEMATICA 1. FINALITA` DELL'INSEGNAMENTO La matematica, parte rilevante del pensiero umano ed elemento motore dello stesso pensiero filosofico, ha in ogni tempo operato su due fronti: da una parte si e` rivolta a risolvere problemi ed a rispondere ai grandi interrogativi che man mano l'uomo si poneva sul significato della realta` che lo circonda; dall'altra, sviluppandosi autonomamente, ha posto affascinanti interrogativi sulla portata, il significato e la consistenza delle sue stesse costruzioni culturali. Oggi queste due attivita` si sono ancor piu` accentuate e caratterizzate. La prima per la maggiore capacita` di interpretazione e di previsione che la matematica ha acquistato nei riguardi dei fenomeni non solo naturali, ma anche economici e della vita sociale in genere, e che l'ha portata ad accogliere e a valorizzare, accanto ai tradizionali processi deduttivi, anche i processi induttivi. La seconda per lo sviluppo del processo di formalizzazione che ha trovato nella logica e nell'informatica un riscontro significativo. Sono due spinte divergenti, ma che determinano con il loro mutuo influenzarsi il progresso del pensiero matematico. Coerentemente con questo processo, l'insegnamento della matematica si e` sempre estrinsecato e continua a esplicitarsi in due distinte direzioni: a "leggere il libro della natura" ed a matematizzare la realta` esterna da una parte, a simboleggiare ed a formalizzare, attraverso la costruzione di modelli interpretativi, i propri strumenti di lettura dall'altra; direzioni che pero` confluiscono, intrecciandosi ed integrandosi con reciproco vantaggio, in un unico risultato: la formazione e la crescita dell'intelligenza dei giovani. Infatti lo studio della matematica: - promuove le facolta` sia intuitive che logiche, - educa ai procedimenti euristici, ma anche ai processi di astrazione e di formazione dei concetti, - esercita a ragionare induttivamente e deduttivamente, - sviluppa le attitudini sia analitiche che sintetiche, determinando cosi` nei giovani abitudine alla sobrieta` e precisione del linguaggio, cura della coerenza argomentativa, gusto per la ricerca della verita`. Ed e` appunto nella fase adolescenziale, nel biennio della scuola secondaria superiore, che l'insegnamento della matematica enuclea ed affina queste varie attivita`, caratterizzandole, ma nello stesso tempo fondendole in un unico processo culturale e formativo. Queste finalita` sono comuni a tutti gli indirizzi di studio perche' concorrono, in armonia con l'insegnamento delle altre discipline, alla promozione culturale ed alla formazione umana dei giovani, anche se intendono intraprendere studi non scientifici o decidono di orientarsi nel mondo del lavoro. In un corso di studi ad indirizzo tecnico-scientifico (per i quali e` previsto il programma-B) l'insegnamento deve inoltre confermare l'orientamento dei giovani per questo tipo di studi, potenziare e sviluppare le loro attitudini, offrire quel bagaglio di nozioni che consentira` loro di seguire proficuamente e senza traumi gli studi scientifici o tecnici a livello superiore. 2.B OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO Alla fine del biennio lo studente dovra` essere in grado di: - individuare proprieta` invarianti per trasformazioni elementari; - dimostrare proprieta` di figure geometriche; - utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo studiate; - riconoscere e costruire relazioni e funzioni; - comprendere il senso dei formalismi matematici introdotti; - cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali; - matematizzare semplici situazioni problematiche in vari ambiti disciplinari; - riconoscere le regole della logica e del corretto ragionare; - adoperare i metodi, i linguaggi e gli strumenti informatici introdotti; - inquadrare storicamente qualche momento significativo dell'evoluzione del pensiero matematico. 3.B ARTICOLAZIONE DEI CONTENUTI TEMA 1. GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO. a) Piano euclideo: figure e loro proprieta`; congruenze (isometrie) e loro composizione; poligoni equiscomponibili; teorema di Pitagora. b) Omotetie e similitudini nel piano. Teorema di Talete. c) Piano cartesiano: retta, parabola, iperbole equilatera e circonferenza. d) Coseno e seno degli angoli convessi. Relazione fra lati ed angoli nei triangoli rettangoli. e) Esempi significativi di trasformazioni geometriche nello spazio. Individuazione di simmetrie in particolari solidi geometrici. TEMA 2. INSIEMI NUMERICI E CALCOLO. a) Operazioni, ordinamento e loro proprieta` negli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali. b) Valori approssimati e loro uso nei calcoli elementari. Introduzione intuitiva dei numeri reali. Radicali quadratici ed operazioni elementari su di essi. c) Calcolo letterale: monomi, polinomi, frazioni algebriche. d) Equazioni, disequazioni e sistemi di primo e di secondo grado. TEMA 3. RELAZIONI E FUNZIONI. a) Insiemi ed operazioni su di essi. Insiemi finiti: prime nozioni di calcolo combinatorio. b) Leggi di composizione ed individuazione di particolari strutture. Prodotto cartesiano. Relazioni binarie: relazioni d'ordine e di equivalenza. Applicazioni (funzioni). c) Funzioni x-->ax+b, x-->ax^2+bx+c, x-->a/x. Grafici e zeri di tali funzioni. TEMA 4. ELEMENTI DI PROBABILITA` E DI STATISTICA. a) Semplici spazi di probabilita`: eventi aleatori, eventi disgiunti e "regola della somma". b) Probabilita` condizionata, probabilita` composta. Eventi indipendenti e "regola del prodotto". c) Elementi di statistica descrittiva: rilevazioni di dati, valori di sintesi, indici di variabilita`, regressione e correlazione. TEMA 5. ELEMENTI DI LOGICA E DI INFORMATICA. a) Logica delle proposizioni: proposizioni elementari e connettivi, valore di verita` di una proposizione composta. Inferenza logica, principali regole di deduzione. b) Variabili, predicati, quantificatori. c) Analisi, organizzazione e rappresentazione di dati, costruzione strutturata di algoritmi e loro rappresentazione. d) Automi finiti, alfabeti, parole e grammatiche generative. Sintassi e semantica. Prima introduzione ai linguaggi formali. LABORATORIO DI INFORMATICA. Utilizzazione di un linguaggio di programmazione, analisi di problemi e loro soluzione sia mediante linguaggi di programmazione, sia con l'utilizzo di un opportuno "ambiente informatico". COMMENTO AI TEMI TEMA 1. Lo studio della geometria nel biennio ha come finalita` preminente quella di condurre progressivamente l'allievo dalla intuizione e scoperta di proprieta` geometriche alla loro descrizione razionale, e rappresenta come tale una guida privilegiata alla consapevolezza argomentativa. A cio` il docente potra` pervenire adottando un metodo che, facendo leva sulle conoscenze intuitive apprese dall'allievo nella scuola media, proceda allo sviluppo razionale di limitate catene di deduzione; e` tuttavia necessario che ogni ipotesi o ammissione cui si fara` ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito, quali che siano le ragioni che inducono ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento. Il docente potra` cioe` condurre l'allievo a familiarizzarsi con il metodo ipotetico-deduttivo su parti circoscritte della geometria, senza la preoccupazione di pervenire alla costruzione di un sistema globale di assiomi. Ed e` in questa prospettiva che egli programmera`, in un quadro di riferimento organico, una scelta delle proprieta` (teoremi) delle figure piane da dimostrare, utilizzando la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso piu` tradizionale. Un traguardo importante dello studio della geometria sara` il piano cartesiano, come modello del piano euclideo. Con la sua introduzione saranno disponibili, per la risoluzione dei problemi geometrici, sia il metodo della geometria classica che quello della geometria analitica, e l'allievo sara` stimolato ad usare l'uno o l'altro in relazione alla naturalezza, alla espressivita` e alla semplicita` che l'uno o l'altro offre nel caso particolare in esame. La rappresentazione della parabola e dell'iperbole equilatera verra` effettuata rispetto a sistemi di riferimento scelti opportunamente. Il coseno e il seno di un angolo sono introdotti, limitatamente agli angoli convessi, in relazione allo studio delle proprieta` dei triangoli e per necessita` proprie delle altre scienze; lo studio delle funzioni circolari e` rinviato al periodo successivo. Gli elementi di geometria dello spazio hanno lo scopo di alimentare e sviluppare l'intuizione spaziale. E` in facolta` del docente presentare prima la geometria piana e poi quella dello spazio, oppure fondere, in relazione agli argomenti comuni, le due esposizioni. TEMA 2. I numeri naturali, interi, razionali, gia` noti agli studenti, saranno ripresi in forma piu` sistematica; si perverra` ai vari ampliamenti a partire da effettive necessita` operative, mettendo in luce la permanenza delle proprieta` formali e della relazione d'ordine. L'esposizione potra` anche essere arricchita con l'illustrazione dell'evoluzione storica dei concetti di numerazione e di numero. Il numero reale sara` introdotto in via intuitiva, come processo costruttivo che puo` nascere sia da esigenze di calcolo numerico, sia da un confronto fra grandezze omogenee. E` importante premettere esempi di calcolo approssimato, in cui sara` posto l'accento sulla significativita` delle cifre, anche al fine di far vedere come il risultato del calcolo possa essere illusorio in assenza di una corretta valutazione dell'errore. Il docente programmera` lo sviluppo da dare al calcolo letterale per abituare l'allievo alla corretta manipolazione di formule, sempre sostenuta dalla comprensione delle procedure da seguire. Si sottolinea, a questo proposito, l'inopportunita` del ricorso ad espressioni inutilmente complesse, tenendo presente che la sicurezza nel calcolo si acquisisce gradualmente nell'arco del biennio. E` invece opportuno fare osservare che un'espressione algebrica e` interpretabile in modo naturale come uno schema di calcolo che puo` essere illustrato da un grafo; si potra` anche collegare il calcolo letterale ai linguaggi formali introdotti negli elementi di informatica. Lo studio delle equazioni, delle disequazioni e dei sistemi sara` connesso alla loro rappresentazione sul piano cartesiano, con relative applicazioni a problemi di varia natura; nella risoluzione il docente si limitera` a considerare le soluzioni nell'insieme dei numeri reali. Nel presentare argomenti tradizionali di algebra e` opportuno evitare di dare carattere di teoria ad argomenti che si riducono a semplici artifizi e di fornire classificazioni e regole distinte in situazioni in cui valgono gli stessi principi generali. TEMA 3. Il docente, dopo aver riorganizzato le conoscenze sugli insiemi che gli allievi hanno gia` acquisito nella scuola media, avra` cura di stabilire opportuni collegamenti tra le nozioni logiche e quelle insiemistiche: connettivi logici ed operazioni tra insiemi, predicato con un solo argomento e sotto-insiemi dell'insieme universo, predicati binari e relazioni, ecc. Lo studio del calcolo combinatorio sara` limitato alle disposizioni, permutazioni, combinazioni e loro proprieta` principali; il docente ne approfittera` per abituare, tra l'altro, l'allievo a dimostrazioni di tipo algebrico. Dall'esame delle relazioni d'ordine, delle proprieta` formali negli insiemi numerici, delle composizioni di isometrie e dall'esame di altri esempi, il docente perverra`, attraverso il riscontro di analogie strutturali, ai concetti di gruppo, anello, campo e di struttura d'ordine, senza tuttavia dare alla trattazione una sistemazione teorica, che viene rinviata ai successivi studi. Alla nozione di relazione d'equivalenza potra` essere associata quella di insieme quoziente, con varie esemplificazioni (direzione di rette, classi di resti, ecc.). Il concetto di funzione, fondamentale per stabilire relazioni di dipendenza, consentira` di visualizzare leggi e fenomeni in connessione interdisciplinare con altri ambiti. L'introduzione delle funzioni x-->ax+b, x-->ax^2+bx+c, x-->a/x trovera` un naturale collegamento con la rappresentazione della retta, della parabola e dell'iperbole equilatera nel piano cartesiano; analogamente la nozione di zeri di tali funzioni con la risoluzione delle corrispondenti equazioni. La nozione di grafico di una funzione potra` essere illustrata anche su esempi diversi osservando che non e` necessario attendere il possesso degli strumenti del calcolo differenziale per avere un'idea qualitativa dell'andamento di funzioni definite da semplici espressioni. In questo contesto l'impiego del calcolatore potra` essere importante, purche' l'allievo abbia consapevolezza del carattere approssimato delle rappresentazioni ottenute. TEMA 4. Al concetto di probabilita` si perverra` da vari punti di vista, avvalendosi di opportune esemplificazioni tratte da situazioni reali. L'analisi dei problemi sara` facilitata da appropriate rappresentazioni: diagrammi di Eulero-Venn e, soprattutto, grafici di vario tipo. Il programma di statistica e` limitato ad elementi di statistica descrittiva, ma occorre tener presente che anche nella componente descrittiva vi sono numerosi aspetti di tipo induttivo, che l'insegnante mettera` opportunamente in risalto. Gli esempi e i problemi saranno scelti in modo da sottolineare l'importanza della statistica nei vari ambiti scientifici e nella realta` in genere. TEMA 5. Gli elementi di logica non devono essere visti come una premessa metodologica all'attivita` dimostrativa (quasi che occorresse imparare le "regole del ragionamento" prima di mettersi a fare matematica), ma come una riflessione che si sviluppa man mano che matura l'esperienza matematica dello studente. Fin dall'inizio si abituera` lo studente all'uso appropriato del linguaggio, a esprimere correttamente le proposizioni matematiche e a concatenarle "logicamente" per dimostrare teoremi, mentre solo nella fase terminale del biennio si passera` allo studio esplicito delle regole di deduzione. Cosi`, ad esempio, si potra` osservare che la risoluzione delle equazioni si basa sull'applicazione di principi logici che consentono di ottenere equazioni equivalenti o equazioni che sono conseguenza logica di altre. E` importante osservare che le riflessioni linguistiche e logiche potranno acquisire un risvolto fortemente operativo, grazie allo sviluppo della parte di programma relativa all'informatica e alle caratteristiche dei linguaggi di programmazione. Cio` consentira`, tra l'altro, di cogliere le differenze tra il piano linguistico e il piano metalinguistico, tra il livello sintattico e il livello semantico, particolarmente evidenziate dalla pratica al calcolatore. Sara` dato altresi` opportuno risalto alle analogie e alle differenze che intercorrono tra il linguaggio naturale e i linguaggi artificiali della logica, tra il ragionamento comune e il ragionamento formalizzato. L'introduzione di elementi di informatica vuole avviare l'allievo alla costruzione di modelli formali di situazioni problematiche che ne consentano una soluzione reale o potenziale con mezzi automatici. Per questo e` determinante abituarlo, a partire dal concetto di informazione, a individuare dati e relazioni tra di essi e a descrivere - in modo via via piu` formale - i processi di elaborazione che consentono di pervenire alla soluzione. La rappresentazione degli algoritmi avverra` in modo grafico o attraverso l'utilizzo di un "linguaggio di progetto". Durante l'attivita` di programmazione lo studente sara` condotto a riconoscere ed utilizzare consapevolmente i tipi di dati e le loro piu` elementari strutture, nonche' le regole di costruzione degli algoritmi (sequenza, selezione, iterazione). In tale attivita` si evidenzieranno continuamente le analogie e le differenze tra gli "oggetti" matematici e le loro rappresentazioni informatiche. La riflessione sulla formalizzazione di un processo favorira` l'acquisizione dei concetti di automa e di linguaggio formale. Il concetto di automa permettera` allo studente di riconoscere l'aspetto logico-funzionale di alcune realta` (i linguaggi, l'elaboratore, altri sistemi automatici). Per la sua acquisizione si fara` ricorso a diverse rappresentazioni grafiche, abituando l'allievo alla selezione di quelle piu` adatte al problema in esame. I contenuti proposti troveranno il loro naturale sviluppo nell'integrazione con l'attivita` di laboratorio. LABORATORIO DI INFORMATICA L'attivita` di laboratorio, distribuita lungo tutto l'arco del biennio, integra gli elementi di contenuto dei vari temi e costituisce essa stessa un momento di riflessione teorica. Essa consistera` in: a) analisi di problemi e loro soluzione informatica attraverso sia la costruzione di un programma e il controllo della sua esecuzione, sia l'utilizzo di programmi gia` disponibili e software di utilita`. In quest'ultimo caso l'utilizzo di tali "ambienti" sara` finalizzato ad abituare l'allievo ad operare consapevolmente all'interno di diversi sistemi dotati di loro regole formali e limiti operativi; b) esplorazioni e verifiche di proprieta` matematiche, rappresentazioni grafiche e calcoli, come momenti costitutivi del processo di apprendimento della matematica e delle sue successive sistematizzazioni. 4.B INDICAZIONI METODOLOGICHE Il programma, in analogia con quello della scuola media, e` distribuito in cinque grandi "temi" cui si aggiunge un "laboratorio di informatica" con valore operativo in senso trasversale rispetto ai temi. Non e` prevista una scansione annuale che e` demandata agli organismi collegiali competenti nell'ambito della programmazione didattica d'istituto. L'ordine con cui sono proposti i cinque temi non e` da interpretare come ordine di svolgimento; anzi si suggerisce che il docente li presenti in modo parallelo, mettendone in luce le reciproche relazioni e connessioni, senza comunque che ciascun argomento perda la propria identita` e caratteristica. Ferma restando per tutti l'acquisizione dei contenuti indicati, e` auspicabile che il docente trovi il modo di curare l'introduzione dei concetti e degli aspetti esemplificativi e applicativi tendenzialmente orientati secondo gli interessi preminenti dei vari indirizzi. Consapevole che il carattere fondamentale dell'educazione matematica e` il porre e risolvere problemi, il docente riconoscera` l'utilita` che l'insegnamento sia condotto per problemi e portera` l'allievo a scoprire le relazioni matematiche che sottostanno a ciascun problema e quindi a collegare razionalmente e a sistemare progressivamente le nozioni teoriche che avra` via via apprese. In questo itinerario didattico le nozioni piu` astratte non saranno proposte "a priori", ma si faranno scaturire come sintesi di situazioni incontrate in vari settori. E` evidente che il termine "problema" va inteso nella sua accezione piu` ampia, riferito cioe` non solo a problemi attinenti a fenomeni naturali, o della vita reale in genere, ma anche a quelli che scaturiscono dall'interno della stessa matematica. In questo caso potra` essere utile sviluppare l'argomento seguendone l'evoluzione storica: potrebbe essere una buona occasione per far vedere agli studenti come il progresso della matematica sia stato spesse volte determinato dalla necessita` di risolvere antinomie e difficolta` che man mano si presentavano nel suo interno e far loro percepire il gusto della ricerca storica, anche in ambito matematico. In questa prospettiva potranno essere trattate, ad esempio, la scoperta dell'incommensurabilita` e dell'esigenza di una costruzione razionale del sapere matematico, l'evoluzione storica dei concetti di numerazione e di numero, la nascita dell'algebra. Si sottolinea infine l'opportunita` che il docente dia particolare importanza all'uso dell'elaboratore che via via potenziera` nei contesti matematici che verranno progressivamente sviluppati (ad esempio, calcolo approssimato, soluzioni di un'equazione o di un sistema, eventi probabilistici o statistici). Con esso potra` anche ottenere, attraverso la visualizzazione di processi algoritmici, non attuabile con elaborazione manuale, che l'allievo verifichi sperimentalmente le nozioni teoriche gia` apprese. Mediante l'approfondimento delle conoscenze, dei linguaggi e dei metodi propri dell'informatica il docente potra` cosi` rafforzare negli allievi l'attitudine ad astrarre ed a formalizzare, per altra via conseguita. 5.B MODALITA` DI VALUTAZIONE Le fasi di verifica e valutazione dell'apprendimento devono essere strettamente correlate e coerenti, nei contenuti e nei metodi, col complesso di tutte le attivita` svolte durante il processo di insegnamento-apprendimento della matematica. La valutazione non deve quindi ridursi ad un controllo formale sulla padronanza delle sole abilita` di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche degli allievi; deve invece vertere in modo equilibrato su tutte le tematiche e tenere conto di tutti gli obiettivi evidenziati nel presente programma. A tal fine l'insegnante si avvarra` di verifiche scritte e orali. Le verifiche scritte potranno essere articolate sia sotto forma di problemi ed esercizi di tipo tradizionale, sia sotto forma di "test"; potranno anche consistere in brevi relazioni su argomenti specifici proposti dal docente o nella stesura (individuale o a piccoli gruppi) di semplici programmi costruiti nell'ambito del "laboratorio di informatica". Le interrogazioni orali saranno volte soprattutto a valutare le capacita` di ragionamento e i progressi raggiunti nella chiarezza e nella proprieta` di espressione degli allievi. Nel corso delle verifiche scritte si consiglia di consentire l'uso degli stessi sussidi didattici utilizzati nell'attivita` di insegnamento-apprendimento (calcolatrici tascabili, strumenti da disegno e - se ritenuto opportuno - manuali e testi scolastici). Si raccomanda altresi`, non soltanto all'inizio dei biennio, un'attenta ricognizione del livelli di partenza ed intermedi dei singoli allievi, mediante accertamenti opportunamente calibrati, anche al fine di intraprendere azioni mirate di consolidamento e, se necessario, di recupero, prima di procedere oltre con lo sviluppo del programma.