MATEMATICA L'apprendimento-insegnamento della matematica e` da intendersi come una forma di conoscenza della realta` che, partendo dai dati offerti dalla percezione e dall'esperienza sensibile, porta alla loro organizzazione razionale. Quale che sia il livello scolare in cui ci si colloca, non si da` conoscenza della matematica se non si tiene debitamente conto di entrambe queste componenti del pensiero matematico. In funzione di questo scopo la matematica da un lato richiede, dall'altro produce lo sviluppo di profondi strumenti concettuali, facendo uso di un linguaggio specifico e introducendo una struttura simbolica adeguata alla rappresentazione e alla formalizzazione di tale linguaggio. L'insegnamento della matematica fornisce cosi` uno strumento intellettuale di grande importanza: se da un lato le competenze matematiche si rivelano oggi essenziali per comprendere, interpretare e usare le conoscenze scientifiche e tecnologiche indispensabili anche nella vita quotidiana, alla educazione matematica va soprattutto riconosciuto un contributo specifico per la formazione di una struttura di pensiero razionale e critico, che la rende strumento irrinunciabile di crescita culturale e umana. Attraverso percorsi didattici attentamente preparati e` possibile presentare la disciplina matematica in modo che gli allievi siano consapevoli della sua natura e dei suoi obiettivi, valorizzando al massimo il suo importante ed indispensabile contributo, sul piano formativo, allo sviluppo concettuale. In caso contrario si rischia di ridurla ad una pura acquisizione di procedure e considerarla quindi prevalentemente sotto l'aspetto applicativo, cioe` qualcosa che si deve imparare perche' indispensabile. E` l'insegnante che deve mettere in gioco la propria consapevolezza degli scopi, del percorso e del metodo, nonche' la sua capacita` di interagire con l'alunno, per fondare le condizioni di una buona acquisizione matematica. L'insegnamento della matematica favorisce ed incrementa il rapporto complessivo della persona con cio` che la circonda attraverso lo sviluppo delle seguenti capacita`: - osservazione della realta`, con particolare attenzione al riconoscimento di relazioni tra oggetti o grandezze, di regolarita`, di differenze, di invarianze o di modificazioni nel tempo e nello spazio; - descrizione della realta` secondo modalita` che, in tempi adeguati, dalle forme verbali o illustrate passano all'uso del linguaggio e degli strumenti matematici (numeri, figure, misure, grafici, ...); - organizzazione complessiva del proprio modo di ragionare, argomentare, affrontare problemi, acquisendo, oltre alla forme espressive del linguaggio e del senso comune, quelle piu` caratteristiche della razionalita` matematica e scientifica; - uso del linguaggio specifico e delle forme simboliche scelti dalla matematica; - progettazione e immaginazione, particolarmente attraverso attivita` di risoluzione di problemi in contesti vari. PERCORSO GENERALE Nella Scuola Primaria e` elemento educativo e didattico imprescindibile che l'insegnamento/apprendimento della matematica prenda sempre avvio dall'esperienza posseduta dagli allievi. Questo significa che conoscenze e abilita` non vanno imposte in modo formale, ma che gli allievi devono essere portati a conquistarle attraverso modalita` didattiche significative, nelle quali ogni alunno possa essere motivato all'apprendimento e coinvolto attivamente. Anche le scelte di ogni tipo di convenzione a cui la matematica ricorre, nella simbolizzazione aritmetica e geometrica, come nelle applicazioni ai contesti concreti, possono essere lasciate maturare nella loro comprensione e venire introdotte in modo ragionato e giustificato, in modo da evitare che risultino imposizioni formali, e rappresentino invece vere conquiste intellettuali. Cio` significa che se, da una parte, per tutto la Scuola Primaria il punto di partenza di qualunque insegnamento matematico e` il riferimento all'esperienza osservata e riflessa, dall'altra parte, tuttavia, l'apprendimento puo` effettivamente avvenire solo attraverso un processo di astrazione che e` interiorizzazione del proprio vissuto. In caso contrario, e` probabile che attraverso la matematica non si formi un modo di pensare e conoscere, ma avvenga semplicemente (nel migliore dei casi) qualche accettazione passiva di schemi mentali esterni, in genere poi non completamente compresi. Nei casi piu` sfortunati, si va incontro all'insuccesso scolastico. L'apprendimento della matematica necessita di tempi lunghi e di attivita` molteplici, che mostrino il collegamento delle conoscenze matematiche con le esperienze corporee, con le scienze e, particolarmente, con la lingua. Nei primi anni della Scuola Primaria e` raccomandabile che tali attivita` abbiano anche frequentemente carattere di gioco, mentre nel procedere dell'esperienza scolastica e` bene che emergano aspetti di metodo piu` sistematici e si raggiungano i livelli di formalizzazione richiesti di volta in volta dall'eta` dei ragazzi. Per le sue caratteristiche, la matematica non puo` essere appresa in sequenza lineare, come se si potesse aprire un argomento per chiuderlo e passare ad un altro. Al contrario non si deve aver timore, nel corso degli anni, di riprendere i medesimi contenuti a livelli via via piu` complessi. Il percorso di acquisizione puo` cosi` essere definito "a spirale", in quanto procede contemporaneamente all'allargamento dei contenuti e all'approfondimento della comprensione. In questo modo si rende possibile per ciascun ragazzo una sempre maggiore consapevolezza dei passi fatti ed e` piu` probabile il superamento nel tempo di eventuali difficolta`. L'acquisizione e la capacita` di dominare il linguaggio specifico della matematica, sia nell'aspetto verbale sia nelle forme espressive simboliche e grafiche, devono crescere di pari passo con la costruzione dei concetti. Anche il linguaggio non puo` essere appreso pienamente attraverso un'imposizione formale e uno sforzo di mero addestramento, ma puo` essere conquistato in modo spontaneo come forma espressiva di un contenuto mentale posseduto e stabilizzato. Per questa ragione, l'aspetto linguistico puo` essere considerato all'interno della formazione complessiva che interessa il pensiero matematico. Infatti, quando ci riferiamo alla formazione della persona, non possiamo limitarci a considerare gli elementi formali o tecnici. Occorre avere una considerazione piu` ampia, che abbraccia tutte le categorie mentali che sono in gioco nel passaggio dalla razionalita` spontanea e naturale, che caratterizza il bambino, alla razionalita` consapevole e riflessa che la scuola vuole e deve formare. Il percorso formativo si svolge attorno a cinque argomenti che organizzano unitariamente gli obiettivi specifici di apprendimento in conoscenze e abilita`: 1. Il numero, 2. Geometria, 3. La misura, 4. Introduzione al pensiero razionale, 5. Dati e previsioni. L'indicazione del percorso formativo di matematica si conclude con l'analisi degli obiettivi specifici di apprendimento legati a due procedure mentali caratterizzanti il pensiero matematico: a. argomentare e congetturare, b. porsi e risolvere problemi. I TEMI DEGLI OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO IL NUMERO. Il tema comprende il percorso fondamentale dell'aritmetica a partire dai numeri naturali per passare quindi ai successivi ampliamenti dei numeri relativi e poi (nella Scuola Secondaria di I^ grado) dei numeri razionali. La nozione di numero costituisce un pilastro fondamentale nella formazione matematica, nel quale sono implicati concetti spontanei e concetti altamente formalizzati e astratti. Si evitera` di introdurre i numeri e le operazioni ricorrendo alla teoria degli insiemi (che per altro non viene presentata a questo livello) o ad altre strutture astratte generali, ma si dovra` piuttosto partire dalla realta` concreta nota sperimentalmente agli allievi. L'introduzione empirica e intuitiva del numero dovra` pero` essere accompagnata da piccoli ma adeguati ed effettivi passaggi verso la razionalizzazione delle nozioni apprese, ricordando che componente essenziale e irrinunciabile della matematica e` la sua struttura formale. L'idea di struttura formale non deve spaventare, quale che sia il livello scolare al quale ci si colloca, poiche' interessanti risultati della ricerca didattica hanno dimostrato che, utilizzando strategie educative adeguate, e` possibile introdurre ad ogni eta` scolare significativi e proporzionati livelli di formalismo e di astrazione. In questo ambito si avra` poi cura di far percepire agli allievi, in particolare, la forza concettuale dello strumento matematico, partendo dagli esempi offerti dai numeri. Si potra` cosi` mettere in evidenza il fatto che lo stesso strumento formale, il numero, si presta a descrivere realta` molto diverse fra loro (persone, oggetti concreti, nozioni astratte) e modalita` di esistenza anche differenti (contare la numerosita` di aggregati, indicare l'ordinamento di allineamenti, ...). Si raccomanda infine, seguendo il processo di successiva concettualizzazione e approfondimento delle nozioni relative ai numeri, di sottolineare i passaggi che, a partire dalla nozione intuitiva e concreta di numerosita` di un certo aggregato di oggetti, porta alla nozione piu` astratta e generale di numero, che tale numerosita` rappresenta, per arrivare infine all'idea ancora piu` astratta di famiglie di numeri, cioe` agli . E` con questi oggetti astratti, si puo` dire, che comincia veramente il pensiero matematico attraverso l'introduzione delle operazioni caratterizzate dalle loro regole di comportamento (le proprieta` delle operazioni stesse). L'approccio alla nozione di numero e all'aritmetica ora descritto costituisce, dunque, una prima occasione per sperimentare quel processo continuo di evoluzione del pensiero matematico che procede dal concreto all'astratto, chiarendo, approfondendo e generalizzando ciclicamente, mediante lo strumento razionale astratto, il riferimento concreto e intuitivo sul quale il pensiero si appoggia. Questo processo continuo di evoluzione caratterizza tutta la struttura della disciplina matematica, ma trova nell'aritmetica una descrizione esemplare e illuminante. Si comprende quindi perche' l'apprendimento delle nozioni che faranno parte di questo Tema non possa che procedere a spirale, perche' ogni passo di astrazione ricomprende e rende evidenti in modo diverso anche le precedenti acquisizioni. Nei primi anni del ciclo si raccomanda di non forzare i tempi dell'acquisizione formale e algoritmica delle operazioni di calcolo. Senza strettoie di tempo, ma presentando molte esperienze che possano facilitare e provocare l'acquisizione di concetti e la giustificazione dei simboli, si puo` prevedere che entro il primo biennio (tra la prima e la terza classe) possa essere completamente e solidamente acquisita l'operativita` con le operazioni aritmetiche dirette e inverse e con i loro algoritmi di calcolo. Su questa base, il secondo biennio (quarta-quinta) puo` portare all'introduzione del concetto di frazione, allo sviluppo delle capacita` di calcolo con numeri anche grandi e con numeri decimali, alla stratificazione di relazioni e proprieta` sui numeri che concorrono alla loro comprensione anche piu` dell'addestramento operatorio. GEOMETRIA. Questo tema costituisce un ambito particolarmente privilegiato di riflessione e razionalizzazione, svolto a partire dalle esperienze spaziali che sono componente essenziale della nostra percezione fisica. Il processo di "evoluzione continua" dal concreto all'astratto, gia` illustrato a proposito del Numero, si arricchisce, nel caso della Geometria, di ulteriori esempi e specificazioni. Nella prospettiva di tale evoluzione l'insegnante curera` prima di tutto, attraverso molteplici esempi, l'osservazione e la manipolazione di oggetti fisici opportuni, che con il loro aspetto possono ispirare l'intuizione successiva di specifici enti geometrici. Con un ulteriore processo di astrazione e generalizzazione si potra` poi passare dagli oggetti fisici concreti ad una loro modellizzazione schematica astratta, che rappresenta una prima forma di razionalizzazione: sono tali le rappresentazioni grafiche del disegno o la costruzione materiale di modellini concreti. Si giunge in tal modo alla intuizione dell'idea di . Il passo successivo si realizzera` poi (alla fine della Scuola Primaria e nella successiva Scuola Secondaria di I^ grado) raggiungendo la definizione razionale, astratta e rigorosa, di . Questa si fonda sulla caratterizzazione razionale dell'oggetto geometrico indagato, basata su certe sue opportune proprieta` rigorosamente individuate. L'approccio alle proprieta` geometriche delle figure avverra` dunque secondo due linee d'indagine, intuitivamente e psicologicamente legate tra loro, ma del tutto indipendenti dal punto di vista della rappresentazione razionale. Si tratta, in altre parole, di riconoscere nella realta` le proprieta` e i comportamenti degli oggetti e delle loro modellizzazioni intuitive e materiali. Questo complesso di intuizioni e di verifiche sperimentali costituisce l'insieme delle proprieta` plausibili e verosimili che sensatamente la nostra mente si aspetta che siano alla base della disciplina geometrica. Tuttavia, se ci si ferma a questo primo livello, non si puo` parlare di scienza matematica. La matematica nasce quando si costruisce una dottrina, astratta, razionale, generale, in cui le proprieta`, gia` intuite sperimentalmente, vengono confermate e quindi approfondite e generalizzate con lo strumento della deduzione razionale. Esiste un rigore per ogni eta`, ma non si da` matematica senza rigore. Sara` compito dell'insegnante, nella sua autonomia e nella sua professionalita`, stabilire il giusto equilibrio tra intuizione e rigore, tra plausibilita` e verita`. Per valorizzare al massimo l'insegnamento-apprendimento della geometria l'insegnante avra` cura di favorire e stimolare negli allievi il formarsi di ricche e suggestive, esercitandoli anche ad operare su di esse, in una educazione al pensiero astratto e, contemporaneamente, all'esercizio della intuizione e della fantasia creatrice. Particolare cura dovra` essere dedicata alla formazione e alla educazione di una sicura intuizione spaziale. A tal fine l'insegnante potra` operare, prima con l'aiuto di modelli concreti, poi appoggiandosi a rappresentazioni simboliche (anche materiali, come il disegno, purche' sempre di significato univoco, oppure virtuali, utilizzando prudentemente opportuni didattici), infine mediante processi razionali astratti e, eventualmente, anche formali, purche' sempre adeguati al livello scolare in cui si e` collocati. L'introduzione di una quadrettatura nel piano puo` essere presentata come un primo esempio di razionalizzazione (effettuata, ad esempio, a partire dal o da altri analoghi sussidi didattici). La quadrettatura del piano e` uno strumento particolarmente duttile e stimolante, che si presta sia ad esercizi manipolativi concreti e intuitivi, sia alla elaborazione precoce di vere e proprie forme di pensiero astratto, proponibili tuttavia anche in una classe prima della Scuola Primaria. Occorre anche notare che l'abitudine alla procedura astratta di operare su una quadrettatura si potra` rivelare una preparazione concettuale ideale per introdurre, a suo tempo, la nozione di sistema di coordinate, comprendendone a fondo l'aspetto di linguaggio descrittivo e rappresentativo. Risulta evidente dalla analisi fin qui effettuata che il percorso didattico che viene ora presentato evitera` certamente di prendere l'avvio da un'imposizione astratta di nomi o da rappresentazioni convenzionali di oggetti non provenienti dall'esperienza. Il fanciullo, nei primi tre anni della Scuola Primaria, dovra` diventare sempre piu` consapevole, e in modo razionale, delle proprie esperienze in relazione allo spazio fisico in cui e` immerso, fino a darsene una rappresentazione indipendente dall'esperienza stessa. A quel punto, le
indicano gli oggetti dell'indagine e scoperta geometrica, dando l'idea di un ricco materiale di conoscenza da acquisire partendo dall'osservazione, resa via via piu` acuta e attenta alle diverse relazioni che riguardano tali oggetti. Le figure rivelano un'ampia gamma di analogie e differenze, somiglianze e dissomiglianze e la geometria e` proprio lo studio di queste procedure di confronto, lo studio di cio` che varia e di cio` che rimane inalterato, lo studio di cio` che rende uguali oppure diverse figure tra loro distinte. Nel procedere delle conoscenze, all'osservazione diretta di contesti concreti (attivita` che deve essere prevalente in tutto il ciclo elementare) va aggiunta l'acquisizione di un lessico specifico e adeguato, che aggancia e sostiene i concetti, e l'uso consapevole della rappresentazione grafica, sia nella forma costituita dal disegno manuale, sia in quella assistita dai possibili software grafici oggi disponibili. Particolarmente significativo, come si suggerira` piu` avanti, e` il collegamento della Geometria con la Misura. LA MISURA. L'importanza di questo tema consegue dal fatto che qui si tocca un punto nodale della disciplina matematica, che si offre come strumento di modellizzazione e codificazione delle piu` svariate realta` scientifiche e tecnologiche, ivi inclusi anche rami diversi della matematica stessa. La procedura della misurazione infatti permette di trasformare valutazioni qualitative e inevitabilmente soggettive, in valutazioni quantitative, quindi con caratteristiche di oggettivita` e trasferibilita`. Esprimere poi tali valutazioni quantitative mediante numeri, che appartengono ad insiemi dotati di specifiche proprieta` formali dominate da leggi sintattiche rigorose, permette di elaborare e confrontare tra loro i dati relativi a queste valutazioni, sfruttando a fondo, in tal modo, la ricchezza di informazione che la procedura di misurazione procura. Queste considerazioni mettono in evidenza gli aspetti di utilita` e applicabilita` pratica della matematica, aspetti che bastano, agli occhi di molti, per giustificare l'importanza di questa scienza nei riguardi della vita reale. D'altra parte, pero`, la concezione della matematica come modalita` di codificazione della realta` sottolinea anche la caratteristica di linguaggio razionale e formale che costituisce uno degli aspetti piu` significativi e qualificanti della disciplina. L'insegnante avra` dunque cura di far percepire agli allievi l'aspetto della matematica intesa come linguaggio, sottolineando il ruolo, paragonabile alle regole grammaticali e sintattiche, che e` svolto dalle proprieta` delle operazioni e delle relazioni che costuituiscono la struttura simbolica della disciplina. Da queste considerazioni discende che la funzione svolta dalla Misura nel processo di insegnamento-apprendimento della matematica e` molteplice. Da una parte, la conoscenza della matematica fornisce uno strumento di immediata utilita` pratica, permettendo di rappresentare in modo univoco e operativo le piu` importanti e abituali grandezze che interessano la vita reale. D'altra parte l'esercizio di rappresentazione simbolica costituisce una preziosa introduzione al pensiero e alle procedure astratte, basate su regole convenzionali, anche se non arbitrarie. Infine, riconoscendo l'aspetto di linguaggio formale e astratto che la matematica puo` svolgere, si arricchisce l'immagine offerta da questa disciplina e si sottolinea il contributo che essa puo` offrire alla fondazione e descrizione della scienza. Le conoscenze specifiche di apprendimento che si riferiscono a questo tema comprendono prima di tutto l'individuazione delle proprieta` che si devono poter attribuire agli oggetti, reali o simbolici, perche' si possano applicare loro appropriate procedure di misura. Qualora il contesto in cui si opera la misurazione sia quello della geometria, si arrivera` in questo modo alla nozione classica di . Successivamente si applicheranno queste considerazioni agli oggetti piu` comuni offerti dalla esperienza reale, introducendo per essi i sistemi di unita` di misura piu` comuni. Le conoscenze che si riferiscono in modo specifico alla misura in Geometria sono indicate nel relativo tema. Lo studio delle tematiche legate alle procedure di misura relative ad oggetti geometrici potranno offrire l'occasione per una riflessione su una peculiare caratteristica della matematica, di essere cioe` una scienza capace di descrivere se stessa. Infatti, l'operare con le misure di oggetti geometrici (lunghezze, perimetri, aree, ...) permette di sperimentare gia` a livelli molto elementari quella procedura, che e` ricorrente nella matematica, per cui un ramo della disciplina descrive, rappresenta, sostituisce un altro. Nell'esempio in questione si tratta della aritmetica che, con i suoi strumenti e le sue proprieta`, rappresenta specifiche relazioni e operazioni geometriche. Negli studi successivi gli allievi incontreranno altri numerosi esempi di questa peculiarita`. Nella Scuola Secondaria di I^ grado, ad esempio, l'introduzione dei sistemi di coordinate sara` un'altra importante occasione di riflessione su questa tematica. INTRODUZIONE AL PENSIERO RAZIONALE. Si conglobano sotto questo titolo alcuni rilevanti aspetti della formazione matematica che superficialmente possono apparire scollegati, ma che sono, invece, accomunati dalla loro importanza per la formazione di una mentalita` matematica. Ci si riferisce, in particolare, alla acquisizione delle seguenti conoscenze ed abilita`: - formarsi di un linguaggio matematico, nei suoi diversi aspetti, verbale e simbolico; - acquisire consapevolmente le forme del ragionamento verbale; - acquisire alcuni concetti e strutture formali (insiemi e loro rappresentazioni, relazioni e loro proprieta`, formalismo logico elementare del calcolo delle proposizioni); - acquisire consapevolmente un pensiero strategico, elaborare comportamenti razionalmente orientati al raggiungimento di certi obiettivi, sulla base di scelte compiute in base al tipo di informazioni disponibili. Alcuni di questi aspetti diventano, ai livelli superiori, contenuti matematici essi stessi: insiemi, relazioni e funzioni sono oggetti dell'algebra e dell'analisi, mentre la logica formale diventa oggetto indipendente di indagine. Nella fase primaria della formazione, tuttavia, il livello di capacita` astrattiva raggiunta dalla maggior parte degli alunni suggerisce di evitare sostanzialmente ogni forma di formalizzazione. Migliori risultati si otterranno attraverso attivita` e forme espressive piu` legate al linguaggio naturale e alla logica verbale, tenendo conto della capacita` espressiva degli alunni. Su tale base gli alunni stessi potranno fondare una migliore consapevolezza dei processi mentali e dei concetti sulla quale si potra`, in anni successivi, appoggiare opportune precisazioni e distinzioni. DATI E PREVISIONI. L'umanita` fin dai primordi ha raccolto ed analizzato informazioni espresse sia in forma qualitativa sia quantitativa. Tali raccolte di dati avevano finalita` conoscitive legate ai contesti amministrativi ed economici del tempo. La statistica come scienza a se' nasce quando l'analisi dei dati si sviluppa con metodi e forme proprie, legandosi sempre di piu` a fenomeni collettivi. La societa` odierna tramite una tecnologia sempre piu` potente e nel contempo accessibile a molti, offre una gran massa di informazioni quantitative. Orientarsi in questa quantita` di informazioni, comprenderne il reale significato, approfondire la conoscenza non e` pero` facile. E`, inoltre, indispensabile fornire agli alunni, futuri cittadini, gli strumenti che permettano loro di non essere condizionati da informazioni fuorvianti, false e troppo spesso tese ad orientare in una direzione piuttosto che in un'altra. Gli strumenti concettuali per leggere i dati, interpretarli, analizzarli criticamente e per valutare la qualita` sono forniti dalla Statistica. E` pertanto fondamentale che, sin dai primi anni, la scuola fornisca agli alunni semplici strumenti per raccogliere, rappresentare, analizzare e criticare le informazioni fornite sotto forma di raccolta di dati. Non sembri precoce l'introduzione di queste attivita` a livello di primo biennio della Scuola Primaria: i fanciulli, nei loro libri, vedono gia` grafici, attuano gia` piccole indagini per conoscersi, ecc. Se l'insegnante sapra` strutturare in modo chiaro e semplice queste attivita`, esse potranno divenire le basi di una alfabetizzazione statistica che e` ormai irrinunciabile nella formazione di un cittadino. Nel primo biennio, i fanciulli potranno organizzare i dati di semplici indagini organizzando libere rappresentazioni iconiche e, dopo un'adeguata discussione su quelle piu` immediatamente "informative", passare a rappresentazioni sempre iconiche, ma del tipo "grafici a barre" e quindi a semplici tabelle di frequenze. Successivamente si potra` passare ad indagini piu` complesse, basate sia su semplici questionari costruiti dagli alunni per ricavare informazioni su alcuni aspetti o problemi ritenuti rilevanti, sia su dati forniti da Agenzie ufficiali quali Istat, Comuni, Province, ecc. e, successivamente, a dati forniti da altre fonti di informazioni (giornali, TV, ...). Si sviluppera`, cosi`, un corretto modo di procedere per attuare una semplice rilevazione e, quindi, anche un modo per analizzare criticamente le informazioni fornite dai mezzi di comunicazione. Analogamente sara` importante anche attuare indagini e riflessioni su dati ottenuti dalle attivita` svolte nell'insegnamento di Scienze. Si potra`, in questo modo, restando strettamente legati alla realta` degli allievi, introdurre o consolidare concetti e procedure importanti della matematica, quale l'uso del numero in contesti significativi, il senso e le tecniche delle operazioni, la rappresentazione grafica (connessa alla geometria), l'utilizzo del concetto di rapporto, i numeri decimali da questo ottenuti ed usati in contesti significativi, ecc. Sempre nell'ambito di contesti significativi per i fanciulli, un tipico aspetto della vita quotidiana e` l'incertezza che in essa e` inevitabilmente presente: fornire agli alunni semplici strumenti per razionalizzarla, per quanto possibile, e` compito ineliminabile di una educazione che voglia tener conto della indeterminazione non solo della realta` concreta ma anche delle varie scienze. La formazione culturale del futuro adulto non potra` quindi prescindere dal possesso di strumenti adeguati di tipo probabilistico. I concetti probabilistici, in quanto inerenti ad aspetti propri della persona, quali l'aspirazione alla certezza, il disagio di fronte a varie scelte possibili, ecc., sono piuttosto difficili da introdurre nella scuola. Si dovra` in ogni caso evitare di trattare tali concetti in modo astratto e con strumenti matematici puramente formali, dando cosi` l'illusione che con semplici formule i complessi aspetti delle situazioni incerte possano essere risolti. Agli alunni si dovra`, invece, innanzi tutto far comprendere che, di fronte ad una situazione incerta, la prima cosa da fare e` ricercare tutte le informazioni possibili non ancora in proprio possesso e, poi, utilizzarle al meglio per stabilire il grado di incertezza della situazione stessa. Per queste ragioni ci sembra opportuno non introdurre espliciti concetti probabilistici nel primo biennio, ma lavorare sulla purificazione dei termini "certo" e "incerto" che dai bambini sono spesso confusi e non adeguatamente compresi. Nel secondo biennio si potranno porre all'attenzione degli alunni semplici situazioni incerte delle quali potranno qualificare il grado con aggettivi del tipo "molto, poco, abbastanza, ecc.". A conclusione di questo lento percorso si potranno formalizzare alcune misure di probabilita`, evitando di far scaturire misure di probabilita` classica da prove ripetute anziche' dall'osservazione dell'oggetto generatore di incertezza, quale il dado regolare, la moneta, ecc. Le prove ripetute o le frequenze saranno utili per situazioni piu` complesse che verranno successivamente affrontate. LE PROCEDURE DEL PENSIERO MATEMATICO Le procedure descritte raccolgono due diverse categorie di processi mentali che caratterizzano il pensiero matematico e sono componenti essenziali della cosiddetta "mentalita` matematica". Per esse non verranno indicate conoscenze e abilita`, ma solamente competenze specifiche sulle quali l'insegnante dovra` richiamare l'attenzione dei propri alunni al fine di rendere piu` completa e approfondita la loro interiorizzazione del "metodo matematico". ARGOMENTARE E CONGETTURARE. I processi mentali che, a partire da ipotesi assegnate (o scelte) a priori, permettono, attraverso passaggi e considerazioni razionali, di ottenere conclusioni logicamente congruenti dalle premesse stabilite, costituiscono una componente essenziale, irrinunciabile e caratterizzante del pensiero matematico. Questi processi mentali, a livello adulto, si riconducono essenzialmente alla struttura ipotetico-deduttiva della disciplina matematica, che e` sostanzialmente strutturata secondo catene di deduzioni, o dimostrazioni, svolte a partire da proposizioni che si presuppongono note, o perche' assunte come assiomi, o perche' a loro volta dimostrate mediante analoghe catene deduttive. Nella Scuola Primaria non si potra` parlare, in generale, di dimostrazioni razionali. Sara` tuttavia cura dell'insegnante sollecitare sempre gli alunni affinche' siano in grado di giustificare con argomenti razionali ogni loro affermazione riguardante enunciati di proprieta` matematiche. L'abitudine, in tal modo indotta dalle attivita` svolte nell'ambito della matematica, avra` l'effetto di produrre negli alunni un abito mentale che rendera` loro piu` spontaneo e naturale il rendere ragione di ogni affermazione, conclusione, decisione, in ogni campo di attivita`, anche ben al di fuori della matematica. L'abitudine a render ragione di ogni propria affermazione e conclusione portera` gli alunni a distinguere con sempre maggior sicurezza ed esperienza tra enunciati che si possono chiamare "veri", perche' difendibili con argomentazioni ragionevoli e convincenti, ed enunciati di cui non si sa, oppure non si puo`, render ragione. Questo abito mentale fara` coesistere negli alunni la capacita` intuitiva di individuare proposizioni o asserzioni che, anche se in quel momento non si e` capaci di giustificare ragionevolmente, appaiono tuttavia plausibili. Si potra` parlare in questo caso di congetture che si ipotizza siano dimostrabili, o quanto meno razionalmente sostenibili, qualora si disponga di sufficienti informazioni e argomentazioni. Le abilita` specifiche che si possono indicare come componenti di questa procedura sono le seguenti: - individuare e descrivere regolarita` in semplici contesti concreti e in contesti matematici, - esprimere semplici congetture e verificarle in opportuni casi particolari, - avanzare congetture e cercare poi di convalidarle, sia empiricamente, sia mediante argomentazioni adeguate, sia eventualmente ricorrendo ad opportuni controesempi. PORSI E RISOLVERE PROBLEMI. Le discipline matematiche, a qualunque livello le si consideri, si presentano a prima vista come una struttura razionale autoreferenziata e autogiustificata, che solo in base a considerazioni esterne si puo` riconoscere ispirata in vario modo dalle realta`, oppure capace di rappresentare, descrivere, modellizzare tale realta` esterna, assumendo allora il ruolo di linguaggio formale che illumina e razionalizza la realta` stessa. Sarebbe pero` un grave errore ritenere che questa struttura formale e le diverse procedure ad essa associate costituiscano un corpo di pensiero ormai strutturato ed immutabile. Carattere peculiare della matematica, come di ogni altra scienza, e` invece un campo di conoscenze in continua evoluzione, sia al proprio interno, sia nei riguardi delle proprie applicazioni e referenzialita`. Lo stimolo a questa continua modificazione e crescita e` costituito dagli interrogativi che interpellano la mente dello studioso, rispondendo a sollecitazioni che possono provenire dall'interno della disciplina come dal mondo esterno che la disciplina stessa ispira e utilizza. Si riconoscono, dunque, da queste osservazioni le ragioni e le modalita` per cui l'atteggiamento problematico e` connaturato con la mentalita` della matematica e si comprende, quindi, l'importanza di questa procedura nel processo di insegnamento-apprendimento della matematica. Va inoltre sottolineato che, ad ogni livello scolastico e in ogni contesto conoscitivo, il risolvere problemi offre importanti occasioni agli allievi per costruire nuovi concetti, nozioni e abilita`, per arricchire di significati nozioni gia` apprese e per verificare l'efficacia diapprendimenti gia` posseduti. Affinche' le capacita` e l'interesse a porre e risolvere problemi possano veramente contribuire alla formazione generale degli allievi, anche al di fuori delle competenze strettamente matematiche, e` necessario che agli allievi stessi siano proposti autentici problemi e non semplici esercizi a carattere ripetitivo. L'insegnante avra` dunque cura di favorire il nascere e lo sviluppo delle seguenti competenze: - in situazioni problematiche, individuare con chiarezza il problema da risolvere e chiarire esplicitamente l'obiettivo da raggiungere, - rappresentare una stessa situazione problematica con diverse modalita` (verbale, iconica, simbolica) cercando di individuare il contesto piu` favorevole per la risoluzione del problema, - in una tale situazione problematica, prestare attenzione al processo risolutivo, esponendolo con chiarezza, e valutare la compatibilita` delle soluzioni trovate con i dati del problema. INDICAZIONI DIDATTICHE LA CLASSE PRIMA. Guidare l'acquisizione del concetto di numero, il passaggio alla rappresentazione simbolica e la manipolazione anche formale delle prime operazioni aritmetiche e` compito delicato e complesso. Occorre sottolineare alcune attenzioni: - e` necessario abituare i bambini a leggere l'esperienza personale e a descriverla con termini appropriati; - e` opportuno utilizzare strategie legate all'uso quotidiano, da parte dei bambini, di giochi, filastrocche, conte, azioni; - e` meglio operare con diversi materiali, sia con materiale di uso comune sia con materiale strutturato, per evitare rigidita` e fissazioni, portando gradualmente a cogliere l'invarianza della quantita`. Manipolare materiale di diverso tipo, chiedendo di raggruppare e contare per gruppi, per gruppi di gruppi, registrando con modalita` differenti, favorisce, infatti, il risalire alla quantita` dalla registrazione simbolica e porta alla consapevolezza della convenzione posizionale della numerazione decimale; - per introdurre i simboli, occorre stimolare alla ricerca di rappresentazioni sempre piu` precise e concettualmente economiche; - si deve abituare l'alunno a considerare l'errore come situazione interessante e utile per tutti; - e` opportuno introdurre anche quantita` e simboli oltre il cento, per consolidare l'interiorizzazione di schemi rappresentativi; - nell'introdurre le operazioni, e` opportuno considerare l'operazione e la sua inversa, per operare in campi concettuali piu` vasti; - e` importante favorire l'osservazione del contesto geometrico da parte dei bambini stessi e stimolarli a utilizzare diverse modalita` di rappresentazione, cercando quelle piu` adeguate; - puo` rivelarsi fondamentale per acquisire i concetti geometrici l'esplorazione corporea attiva, percio` va ricercata e curata la collaborazione con chi lavora nell'ambito motorio; - anche l'acquisizione delle coordinate temporali richiede l'agire corporeo: e`, infatti, a livello corporeo che si strutturano concetti primitivi quali il prima e il dopo, la successione, la contemporaneita`, la durata. Essa si avvantaggia, inoltre, della familiarita` con il ritmo musicale: occorre utilizzare il piu` possibile questo collegamento; - e` importante avere cura di utilizzare occasioni per raccogliere dati su se stessi e sul mondo circostante e iniziare ad organizzarli, in base ad alcune caratteristiche, chiedendo anche di rappresentarli usando semplici rappresentazioni grafiche; attraverso queste attivita` si introduce, al livello adeguato all'eta` dei bambini, una prima familiarizzazione con l'aspetto della trattazione dei dati (statistica). IL PRIMO BIENNIO. La complessita` dei contenuti matematici che si introducono in questi due anni suggerisce di non anticipare ne' accelerare l'acquisizione degli algoritmi formali del calcolo delle quattro operazioni, ne' con gli interi, ne' con i decimali. E` necessario favorire prima la formazione dei relativi concetti utilizzando tutte le attivita` che si possono immaginare. Anche in questo biennio e` bene predisporre esperienze concrete da cui partire per introdurre nuovi concetti; attraverso esse i bambini imparano ad interiorizzare il proprio vissuto. L'azione educativa e formativa terra` conto dei seguenti obiettivi e delle seguenti strategie didattiche: - la modalita` del gioco puo` rivelarsi preziosa in diverse occasioni, anche se deve trovare nel tempo scolastico una collocazione pensata e mirata; - bisogna iniziare a consolidare nell'esercizio gli apprendimenti (sugli algoritmi, sulle equivalenze, sul calcolo orale e scritto). Vanno, pero`, evitati esercizi ripetitivi ed eccessivamente esecutivi, mentre si deve cercare di stimolare e favorire modalita` di azioni autonome e creative; - il problema e` una modalita` da privilegiare per presentare nuovi concetti. Nelle situazioni problematiche si possono vedere, rappresentare, simbolizzare, verbalizzare azioni, quantita`, ...; - il problema e` un ambito molto opportuno per mettere in moto le capacita` del bambino, ma non va sottovalutata la difficolta` del procedimento di contestualizzazione/decontestualizzazione che la risoluzione spesso comporta. Percio` e` bene usare diversi problemi, riferendoli alla rappresentazione di situazioni che richiedono differenti modellizzazioni (uso del denaro, misure del tempo). E` bene variare il tipo e la forma della proposta e lasciare molta liberta` di rappresentazione, evitando di proporre schematizzazioni piuttosto artificiose che possono costituire una ulteriore difficolta` formale; - e` sempre molto utile richiedere l'esplicitazione dei passi fatti, la spiegazione dei procedimenti seguiti. Nella risoluzione dei problemi e` importante che i bambini prendano coscienza del proprio ragionamento, spesso guidato dall'intuizione o dall'analogia, e che imparino a motivarlo e criticarlo, magari rappresentandolo con varie modalita`, poiche' la rappresentazione grafica puo` essere un primo passaggio all'astrazione. Gli argomenti dei problemi devono essere vari e la risoluzione non deve essere incanalata in schemi fissi di comportamento o di simbolizzazione; - si puo` utilizzare la correzione come confronto fra soluzioni diverse e come punto di partenza per la ricerca di nuove soluzioni o di nuovi problemi; - e` molto importante prevedere nel corso dell'anno scolastico momenti in cui ripercorrere il lavoro svolto, in modo che i passi fatti, anche con le eventuali difficolta`, possano essere resi contenuto esplicito di coscienza (ogni mese e alla fine di ogni anno). IL SECONDO BIENNIO. Oltre a quanto gia` indicato per il primo Biennio, si dovra` tener conto del fatto che gli alunni a questo livello di scolarita` dispongono di strumenti concettuali e capacita` di elaborazione piu` elevate. Non bisogna, tuttavia, forzare eccessivamente l'astrazione e insistere sugli aspetti formali, allentando la radice conoscitiva fondamentale del bambino, il rapporto con l'esperienza. Occorre tenere sempre conto dell'alto livello di espressione simbolica che la matematica richiede e lasciare il tempo necessario perche' tutti i bambini ne colgano la necessita` e ne avvicinino le forme. La necessita` di far acquisire scioltezza e sicurezza in certe procedure di calcolo, e di raggiungere una memorizzazione stabile di alcuni contenuti essenziali puo` portare a dare, in questo biennio, piu` tempo e attenzione ad attivita` di esercizio e allenamento. Bisogna evitare, pero`, l'accumulo di formule e regole perche' esso produce una concezione della matematica piuttosto meccanica e manipolativa, mentre non favorisce la creativita` e l'intuizione.