Bollettino U. M. I.
(7) 10-A (1996), 1-17
SEZIONE SCIENTIFICA
La formazione degli insegnanti di Matematica.
GIOVANNI PRODI (*)
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
(*) Conferenza inaugurale tenuta a Padova il 10 settembre 1995,
in occasione del XV Congresso U.M.I.
[per indicazioni su e per questa trascrizione cfr. il
file di presentazione]
0001
Sono vivamente grato
al Presidente dell'Unione Matematica Italiana
e al Comitato Organizzatore di questo importante Congresso
che hanno voluto trasformare una mia breve comunicazione
prevista per la sezione didattica
in una conferenza generale.
Questo mutamento mi fa molto piacere
anche perché vi vedo una rinnovata attenzione
da parte dell'Unione Matematica Italiana
per problemi dell'insegnamento.
0011
Tuttavia,
malgrado questa diversa collocazione e destinazione,
la mia esposizione rimane quello che era:
cioè un testo pratico,
che non ha nulla della scientificità
che ci si aspetta da una conferenza generale
nell'ambito dell'Unione Matematica Italiana.
Parlerò della formazione degli insegnanti di matematica.
Devo precisare:
su questo tema si potrebbe parlare
0021
in modo perfettamente scientifico,
ma non è il caso mio.
Questa conversazione riguarderà esclusivamente
alcuni aspetti pratici dell'insegnamento della matematica
nella scuola italiana.
Ancora una scusa: parlerò troppo in prima persona.
Ma confido che questo mi venga perdonato:
infatti, con il procedere dell'età,
le cose a cui si è partecipato personalmente
sono quelle che rimangono più vive nella memoria,
0031
e pertanto si consente ad un anziano
--- purché, ovviamente, non esageri ---
di esplicare il ruolo di testimone di situazioni del passato
che rischiano di venire dimenticate.
1. - Come formare gli insegnanti di matematica?
0038
La formazione degli insegnanti di matematica
è un problema che mi assilla da molti anni.
Da quando cominciai ad interagire in modo non superficiale
0041
con gli insegnanti di matematica,
mi colpì la forte difficoltà che essi incontrano
nell'accettare le innovazioni didattiche,
anche quando il cambiamento nei contenuti è minimo
e il vantaggio nell'apprendimento è notevole.
Mi domandavo come si potessero trovare in difficoltà
insegnanti che erano stati eccellenti allievi all'univeristà
e che mantenevano
una buona cultura personale in matematica:
le cose andavano come se i nostri laureati,
0051
una volta diventati insegnanti,
entrassero in un nuovo mondo,
o forse ritornassero nel precedente mondo del loro liceo,
temporaneamente lasciato per la parentesi universitaria.
Un'altra carenza che riscontravo riguarda
quella che chiamerei l'affettività matematica:
(potrei anche usare il termine entusiasmo);
voglio dire:
il piacere di raccontare agli altri
(in questo caso agli allievi)
0061
qualche fatto matematico molto bello,
e tecnicamente semplicissimo.
Per molti anni ho fatto un test alle matricole
chiedendo, fra l'altro,
se avevano mai sentito dire
che esistono infiniti numeri primi:
non si andava mai oltre il 5% di risposte affermative.
È vero che
il teorema di Euclide sull'infinità dei numeri primi
non faceva parte del programma,
0071
ma è anche vero che
per chi ha un po' di passione per la matematica
è difficile resistere
alla tentazione di raccontarlo a chi non lo sa.
Cercai una prima risposta costruttiva
dedicandomi con intensità all'attività di aggiornamento,
anzi, con termine pedagogico più forbito,
all'attività di "formazione in servizio".
Cominciai
--- in cordiale collaborazione con Vittorio Checcucci,
0081
con cui quotidianamente discutevo su questi temi ---
ad istituire un "Nucleo di Ricerca Didattica";
con la collaborazione dei nuclei di Pavia e di Trieste,
venne sperimentato un intero corso di matematica
per la Scuola Secondaria Superiore
(o progetto, come si diceva con un po' di enfasi).
C'era, all'inizio, molto fervore:
gli insegnanti si lanciavano volentieri
sui temi che erano per loro nuovi;
ma col passare degli anni aumentava il divario
0091
fra quello che essi imparavano
e condividevano nell'ambito del "Nucleo"
e quello che essi riuscivano ad introdurre in modo effettivo
nel loro insegnamento in classe.
Ad un certo punto questo divario
si trasformò in vera e propria frustrazione,
con reazione di rigetto,
così che l'esperienza del "Nucleo" si esaurì,
per rinascere poi sotto tutt'altra forma in tempi più vicini.
Devo aggiungere che in questi venti anni
0101
molte cose sono cambiate
anche nella Scuola Secondaria Superiore;
in particolare, c'è stato lo scossone benefico
del Piano Nazionale per l'Informatica,
anche se adesso non si sa più che cosa sia diventato,
o quali eredi abbia lasciato.
Da una decina di anni organizzo ogni anno
un convegno per gli insegnanti della Toscana,
con l'appoggio dell'IRRSAE
e l'aiuto dei colleghi del Dipartimento
0111
più sensibili alla didattica.
L'iniziativa è molto gradita:
gli insegnanti ascoltano volentieri le conferenze,
discutono fra loro,
collaborano volentieri ai gruppi di studio.
La dimensione regionale è quella più adatta per questi scopi
(e forse è la dimensione ideale
per il governo di tutte le attività scolastiche)
perché da un lato è abbastanza ampia,
così da accogliere varie esperienze e mentalità,
0121
dall'altro è abbastanza ristretta
così da poter stabilire vincoli duraturi
di amicizia e collaborazione.
In questo ambiente
il livello di partecipazione degli insegnanti è buono
e quella che chiamavo prima
affettività matematica
è soddisfacente.
Quello che non si riesce ancora ad ottenere
dagli insegnanti che partecipano
0131
è qualche messaggio autentico sul loro lavoro in classe:
è come se tutto questo fosse coperto da segreto militare.
Per un paio di anni abbiamo chiesto loro
una piccola relazione su un aspetto particolare
(si potrebbe dire un episodio significativo)
del loro lavoro in classe.
Abbiamo ottenuto solo relazioni generiche
(o un riepilogo succinto di teoria,
oppure un diario di attività),
ma nulla, o quasi nulla,
0141
che fosse un fenomeno didattico genuino,
un accadimento su cui poter riflettere.
Comunque, questa attività continua e progredisce.
Dopo tutte queste esperienze,
ho fissato sempre più la mia attenzione sul punto che per me,
professore di Matematiche Complementari,
avrebbe dovuto essere l'inizio della mia inchiesta,
cioè sul modo
con cui formiamo gli insegnanti di matematica.
Mi sono allora domandato
0151
se per caso non è la formazione universitaria
che condiziona in modo negativo gli insegnanti
(che li "spegne" anziché "accenderli");
mi sono anche chiesto se la preparazione migliore
non sia quella dei paesi dove
gli insegnanti si formano anzitutto come tali,
e se per caso non sia sbagliato
il nostro modo di volere formare prima dei matematici
(o dei biologi, o dei letterati)
cercando poi di trasformarne alcuni in insegnanti.
0161
Ma su queste carenze più generali
riguardo alla formazione degli insegnanti
ritornerò a conclusione della relazione.
al modo con cui formiamo
tutti i nostri laureati in matematica,
non solo gli insegnanti,
ma anche quelli che si orientano verso la ricerca
o verso le applicazioni.
Anzi, rovesciando i criteri dominanti,
sono arrivato a concludere che se
0171
ci si studiasse di formare dei buoni insegnanti di matematica,
si formerebbero automaticamente dei buoni ricercatori.
Ma, a questo punto,
il discorso si sposta sui contenuti e le metodologie
dell'attuale corso di laurea in matematica.
2. - Per la riforma del C.d.L. in Matematica:
uno sguardo indietro.
Per aprire un dibattito sulle basi culturali
0181
su cui avviare la riforma degli studi di Matematica,
il punto di partenza obbligato
è la genesi dell'ordinamento vigente,
che rimane quello del 1961,
salvi alcuni recenti ritocchi organizzativi.
Questo ordinamento sostituiva l'assetto precedente,
piuttosto frammentario,
ma anche ricco di esperienze interessanti (1)
con un quadro coerente e culturalmente unitario,
centrato sulla nozione di struttura matematica,
0191
secondo la concezione Bourbakista.
(1) Si veda a proposito l'ampio e documentato articolo di L. BRUSOTTI
nella Enciclopedia delle matematiche elementari (Hoepli).
L'ultima parte dell'articolo è dedicata
alla Preparazione e valorizzazione dell'insegnante.
In campo didattico,
la tesi fondamentale del movimento Bourbakista era
che l'apprendimento delle nozioni astratte
ed interne della matematica
deve precedere le esemplificazioni e le applicazioni.
0201
Nel preparare questo mio intervento,
mi sono chiesto se all'inizio del 1961,
quando tracciavamo la riforma
nell'ambito della commissione creata dall'U.M.I.,
avevamo consapevolezza
di un'adesione alla linea Bourbakista
o, semplicemente, questa era "nell'aria che si respirava".
Io propenderei per la seconda ipotesi.
Il corso di Algebra,
che fu introdotto con la riforma nel primo anno,
0211
era stato pensato da qualcuno
(mi riferisco soprattutto a Beniamino Segre)
come corso di strutture matematiche
e, pertanto, come nodo culturale
del nuovo corso di laurea.
In realtà, il corso di Algebra fu subito attuato
come vero corso di Algebra
e venne a colmare una grave lacuna
del nostro piano di studi.
L'adozione della linea Bourbakista
0221
ebbe anche come conseguenza
l'abbandono dei temi classici
che non si prestavano ad essere inseriti immediatamente
in uno schema astratto,
anche se ricchi di fascino
(come, per fare un esempio particolarmente significativo,
la geometria proiettiva,
il cui studio fu abbandonato o ristretto).
Nello stesso tempo,
fu dato minore rilievo a materie "applicative"
0231
come la fisica e la meccanica.
Per quello che riguarda
la preparazione all'insegnamento,
si deve ricordare che,
a seguito della riforma Gentile,
era stato istituito il corso di laurea in Matematica e Fisica,
con lo scopo di preparare insegnanti per scuole secondarie
(licei, istituti magistrali)
in cui matematica e fisica erano state accorpate.
Questo corso di laurea, veramente,
0241
non era per nulla soddisfacente
né per i matematici né per i fisici;
la riforma del 1961 lo soppresse
nella previsione
di una imminente separazione dei due insegnamenti,
separazione che, almeno nei licei, deve ancora attuarsi!
Ironia della sorte:
la laurea in Matematica e Fisica,
fra tutte le lauree esistenti,
sarebbe stata il meno peggio
0251
per l'insegnamento nella Scuola Media,
che di lì a poco sarebbe stata istituita.
3. - Avanti, ma verso dove?
0256
Veniamo alle possibili basi culturali
di una riforma degli studi di matematica di oggi.
Non è il caso di contrapporre
una visione della matematica di oggi
a quella di quaranta anni fa.
0261
La matematica ha una sua linea di sviluppo:
non procede per sconvolgimenti radicali,
è essenzialmente conservativa.
I risultati trovati permangono nei secoli,
spesso con le stesse dimostrazioni, alla lettera,
come è per il caso di quel semplicissimo
teorema di Euclide sui numeri primi
che citavo all'inizio;
a volte, quello che c'è di nuovo
è solo la liberazione da un vincolo.
0271
Nel caso del teorema di Euclide,
l'enunciato originario è che
"Esistono più numeri primi
di quanti se ne possano proporre":
noi diciamo oggi
che l'insieme dei numeri primi è infinito,
perché ci siamo liberati dal terrore dell'infinito.
In altri casi,
come per la geometria di Euclide,
cambia l'impostazione, che diventa più critica
0281
e può anche frazionarsi in tanti approcci diversi,
ma la sostanza e la bellezza del ragionamento
vengono ugualmente conservate.
Questo aspetto conservativo della matematica
crea però dei problemi:
specialmente se si tiene conto
dell'ampiezza della ricerca matematica di oggi
(basta vedere la crescente mole
dei volumi delle riviste di recensione):
viene prodotto un enorme materiale che,
0291
per sopravvivere ed essere utilizzato,
deve essere in qualche modo semplificato e compattato,
se non si vuole che la scienza sia soffocata
dalla sua stessa mole.
Mi pare che si possa chiamare
didattica della matematica in senso lato
questo processo interno di semplificazione
che ha nell'insegnamento il suo momento istituzionale.
La storia della matematica ci insegna
che le idee nuove spesso nascono in modo arruffato.
0301
In generale l'aspetto che affiora per primo
è quello del calcolo,
mentre il quadro concettuale è quello che viene per ultimo.
Così, nell'algebra lineare
si comincia nel secolo XVIII con i determinanti,
poi, nel secolo successivo,
si scoprono le matrici e la loro algebra,
poi soltanto nei tempi a noi abbastanza vicini
si scopre la sorgente concettuale:
lo spazio vettoriale, con le applicazioni lineari.
0311
È chiaro allora che nell'insegnamento
non si può procedere in modo storico:
si impiegherebbe troppo tempo e troppa fatica.
Si può avere qualche rimpianto
per la scomparsa di aspetti magici e misteriosi
che sono troppo presto fugati
da una sistemazione assiomatica:
ad esempio
chi oggi utilizza i numeri complessi
lo fa con tutta naturalezza;
ma la meraviglia rimane,
0321
soltanto si sposta su quante cose si possono ricavare
da uno strumento così semplice.
In questa semplificazione e sistemazione
ha un ruolo importante l'intuizione,
che estende il suo potere verso campi nuovi,
in cui, in un primo tempo, si procedeva guardinghi:
giunti ad un certo punto,
è possibile lasciare corso all'intuizione,
pur di tenere presenti dei "segnali di pericolo"
analoghi ai segnali di svolta pericolosa
0331
che i Bourbaki
hanno introdotto spiritosamente nel loro trattato.
Ho parlato di conservazione,
ma molti risultati vengono conservati solo confluendo,
come tentativi o come risultati parziali,
in teorie più generali,
come le conchiglie
che finiscono per comporre le rocce sedimentarie.
Molti risultati, anche se sono costati sforzo e fatica,
finiscono dimenticati,
0341
anche perché ci sono le mode che si avvicendano;
spesso una generazione ignora quello
che ha fatto la generazione precedente.
Ciò premesso,
se vogliamo fissare un curriculum
per la formazione degli insegnanti
non possiamo sfuggire alla domanda:
quali temi sono più importanti,
nella nostra consapevolezza di oggi?
Nel tempo in cui
0351
la matematica veniva vista come un edificio,
i temi didatticamente importanti
erano quelli dei fondamenti.
Posso osservare che,
anche sotto questo orientamento culturale,
i corsi di Matematiche Complementari
hanno avuto una notevole benemerenza:
mezzo secolo fa erano gli unici corsi
in cui si studiavano certi temi
apparentemente goffi e bizzarri
0361
(come la definzione delle operazioni aritmetiche di Peano)
che oggi sono annoverati
fra quelli più originali e fecondi.
Successivamente, come ricordavo prima,
il ruolo dei fondamenti venne preso, o sostituito,
da quello delle strutture matematiche.
E oggi?
Mi rendo conto che posso apparire presuntuoso
tentando di indicare ciò che è importante oggi;
però non si tratta
0371
di fare profezie sul futuro della matematica
(ci vorrebbe altro!),
ma soltanto di dare un giudizio ai fini dell'insegnamento
su cose che sono davanti ai nostri occhi.
Direi che è importante ciò che è semplice,
ma, nello stesso tempo, si trova all'incrocio di molte vie.
So che, con quest'ultima immagine,
corro il rischio di cadere nel termine triviale,
ma accetto il doppio senso di questo termine.
Cerco di chiarire e sostenere il mio pensiero
0381
partendo da una riflessione sull'opera di Cantor:
in essa ci sono aspetti formalmente semplici,
ma con conseguenze enormi
(ad es.: distinzione fra l'infinito numerabile e non,
la scoperta che la dimensione
non si può fondare sulla cardinalità);
poi c'è anche la teoria dei transfiniti:
teoria elaboratissima,
ma paragonabile a tante altre teorie matematiche.
Potremmo dire che
0391
da questo secondo punto di vista
Cantor è un matematico di grande statura,
ma come tanti altri;
ciò che lo rende unico
sono le scoperte del primo livello,
cioè quelle che si potrebbero catalogare
sotto lo slogan del coraggio dell'infinito.
Una riprova della scala di importanza è nel fatto che,
nello sviluppo della teoria della misura
e dell'analisi funzionale
0401
abbiamo assistito alla sostituzione di molte dimostrazioni
basate sui transfiniti
con dimostrazioni costruite a livello più elementare.
Nel periodo più vicino a noi (2)
troviamo altre scoperte
in cui la profondità si unisce alla semplicità;
penso, ad esempio, alla macchina di Turing.
(2) Si veda: G. LOLLI, I fondamenti della matematica dopo Gödel,
Atti del XII Congresso dell'UMI, Torino, 1987.
Ma quanti laureati in matematica la conoscono?
0411
Probabilmente solo quelli che hanno fatto
un corso facoltativo di
Teoria e Applicazione delle Macchine Calcolatrici.
Per i matematici forse la difficoltà è solo psicologica:
capire che in un oggetto un po' strano e sgraziato
(voglio dire che non ha l'eleganza di una curva algebrica ...)
c'è materia per una profonda meditazione.
Che la macchina di Turing
sia un oggetto matematico di enorme importanza
lo si capisce non solo dal calcolatore,
0421
che ne è l'approssimazione concreta,
ma soprattutto dalla sua fecondità nel produrre altre idee.
Penso alla possibilità di definire successioni casuali
(teoria di Kolmogorov-Chaitin, ...)
come successioni che sono costruibili
solo con un programma di lunghezza
non inferiore alla loro stessa lunghezza.
In questo modo si realizza
una interazione fra probabilità e informatica:
quando una scoperta come questa collega due vie principali,
0431
come l'informatica e la probabilità,
non si può dubitare della sua importanza.
Cercherò di chiarire il mio pensiero
precisando la posizione opposta:
quella di coloro che chiamano matematica
solo quello che sta dentro ad un recinto tradizionale
(dunque, non la logica, l'informatica,
la probabilità, la statistica;
non parliamo poi della fisica o dei modelli matematici, ...).
Essi, in compenso,
0441
spingono la specializzazione al massimo livello,
senza porsi mai il problema del possibile significato
di ciò che essi stessi fanno.
Devo precisare che
come rappresentanti di queste correnti di pensiero
vedo anche matematici di notevole statura.
Troppo spesso i ricercatori puri
non si pongono problemi di importanza.
È invece la didattica
che porta alla necessità di fare una graduatoria di priorità:
0451
paradossalmente,
la pura ricerca in matematica può, in molti casi,
ignorare questa graduatoria,
o, forse, farne una sua propria
rispetto ad un sistema di riferimento
contingente e momentaneo,
considerando come più importante
ciò che più facilmente
può portare alla cattedra universitaria.
4. - Verso nuovi contenuti.
0462
Penso che, a questo punto,
siamo in grado di cogliere nella matematica di oggi
alcune linee di sviluppo
che ci suggeriscono nuovi contenuti e nuovi metodi
per il nostro Corso di Laurea.
a) C'è stata negli ultimi decenni
una forte crescita di consapevolezza
nel riflettere sulle operazioni stesse
0471
che compiamo nel fare matematica.
Ci rendiamo conto che è importante fare ragionamenti,
ma è ancora più importante
riflettere sui ragionamenti che facciamo.
Oggi si tende a considerare la logica
come una delle tante specializzazioni matematiche,
ed è vero
(possiamo segnalare come particolarmente incisiva
l'opinione di J. Dieudonné (3))
ma è altrettanto vero che nel recente passato
0481
la logica più di ogni altra materia matematica
ha cambiato i nostri modi di pensare
e ci ha dato stimoli di progresso.
(3) J. DIEUDONNÉ, Logica e matematica nel 1980,
in La nuova ragione, a cura di Paolo Rossi, Il Mulino, 1981.
Anche nel campo della ricerca didattica
oggi si insiste sulla consapevolezza da parte del discente
delle operazioni mentali che egli compie,
cioè sugli aspetti che vengono detti metacognitivi.
L'introduzione del calcolatore
0491
--- a prescindere dall'evidente potenza dello strumento
e della sua molteplice applicabilità ---
ha portato ad operare a un livello formalmente più spinto
di quello insiemistico tipico delle strutture matematiche.
Nello stesso tempo,
proprio in virtù del calcolatore,
questo modo di operare più formale
è venuto a far parte dell'operare concreto del matematico.
Voglio dire:
anche un ragazzo che lavora con un calcolatore
0501
fa necessariamente attenzione ai diversi strati linguistici
che sono in gioco,
dovendo distinguere, ad esempio,
il programma di calcolo
dalle istruzioni per la scrittura del programma stesso.
Questa distinzione fra diversi strati linguistici,
che fino a poco fa poteva apparire astrusa,
diventa spontanea e del tutto comprensibile
per chi opera con il calcolatore.
0511
b) L'interazione
fra la matematica e le scienze della natura,
fra la matematica e le attività umane
non appare oggi
come un carattere accessorio della matematica
(quale veniva invece evocato dal termine applicazione)
ma diventa un elemento fondante della matematica.
Nel dopo-Gödel
la matematica deve rinunciare alla pretesa
di giustificarsi dal suo stesso interno
0521
e allora il fatto che essa venga assunta
non solo come linguaggio,
ma anche come veicolo di idee per tutte le scienze
diventa, in un certo senso, un suo elemento costitutivo:
si è parlato (4) dell'"inspiegabile successo della matematica".
(4) E. P. WIGNER,
The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences,
Communications on Pure and Applied Mathematics, 13 (1960).
Con ciò non si vuole sminuire
l'importanza dei problemi
0531
che vengono posti dall'interno della matematica;
si vuole solo affermare che questi non sono gli unici
e nemmeno i più ... matematici.
La celebre disputa fra Jacobi e Fourier
dovrebbe essere risolta affermando che
tutta la ricerca matematica è una battaglia
che si combatte per l'onore dello spirito umano.
c) La probabilità e la statistica, l'informatica teorica
non sono più da considerarsi
0541
come materie specialistiche e aggiuntive,
ma come modi di pensare dotati di grande valenza
sia nelle applicazioni
sia all'interno stesso della matematica,
e quindi tali da dover essere apprese fin dall'inizio
con profondità concettuale,
anche se a livelli elementari dal punto di vista tecnico.
d) La simulazione
è una nuova ed attraente attività matematica
0551
che ha grande valore pratico ed euristico,
e viene correntemente usata
da ingegneri, medici, economisti, ecc.
Essa si colloca ad un livello intermedio
fra quello deduttivo e quello sperimentale.
Benché la mentalità del matematico
sia e debba rimanere prevalentemente deduttiva,
si avverte la necessità di una formazione complementare
sul versante dell'induzione.
Le attività qui elencate
0561
sono spesso ignorate dai matematici,
mentre sono praticate da altri professionisti:
ingegneri, fisici, ecc.
Mi pare che vi sia motivo di autocritica
per la nostra comunità matematica.
Mi rendo conto che qualcuno potrebbe obiettare:
"Queste non sono attività matematiche".
Dal mio punto di vista è facile rispondere:
"Se anche non lo sono,
esse fanno ugualmente
0571
parte della figura professionale dell'insegnante
(a cui punta l'indirizzo didattico)
e di quella del matematico applicato
(a cui punta l'indirizzo applicativo)".
Un'altra obiezione potrebbe essere:
"Che cosa eliminare per fare spazio a questi nuovi temi?".
Io risponderei che la semplificazione dei temi tradizionali
avviene spontaneamente,
se non si è conservatori per principio.
Faccio un esempio:
0581
quando ero studente,
i libri di Analisi recavano ancora
molti criteri di convergenza per le serie a termini positivi.
Oggi il concetto stesso di serie a termini positivi
(meglio ancora se pensata
come somma che prescinde dall'ordine)
ci appare come familiare:
per la sua comprensione bastano alcuni esempi fondamentali.
5. - Verso una nuova metodologia.
0591
Dal punto di vista metodologico,
il lato peggiore della formazione attuale
dei nostri studenti di matematica è,
a mio parere,
la frammentarietà.
I nostri allievi affrontano una materia alla volta;
già nel primo anno, dopo una breve fase iniziale,
anche per l'effetto di carenze formative di base,
essi si concentrano su una sola materia
0601
e lasciano perdere le altre,
anche per quello che riguarda la frequenza.
In tal modo
rinunciano alla maggior parte del servizio didattico
che il corso di laurea può offrire
e rinunciano, in definitiva,
ad una visione armoniosa e sintetica del loro sapere.
Ma la colpa non è tutta degli allievi:
è la struttura dell'insegnamento universitario italiano,
con l'accentuazione della sovranità della cattedra,
0611
a favorire questo effetto di frammentazione del sapere.
I più anziani fra i presenti ricorderanno che un tempo
si accedeva alla laurea in matematica
solo attraverso un esame (o colloquio) di cultura generale.
Questo esame costituiva per tutti una vera sofferenza:
per gli allievi, perché spesso il risultato
era in contraddizione
con i buoni voti realizzati materia per materia;
per i professori, perché esso rivelava impietosamente
gli scarsi risultati della loro fatica.
0621
Nessuna meraviglia se questa prova fu abolita,
come un testimone scomodo,
all'inizio degli "anni settanta"
con l'avvento della contestazione studentesca
e non fu più ripristinata.
Attualmente
il problema non è quello di ripristinare questa prova
(sul cui insuccesso si può sempre scommettere)
ma è quello. di introdurre una didattica,
che, per la sua stessa struttura, eviti la frammentazione.
0631
Si devono curare tutte le connessioni fra le varie materie,
in modo da non avere né sovrapposizioni né lacune
e da avere omogeneità di linguaggio.
Ad ogni punto del corso, almeno nel primo biennio,
ciascun docente deve essere al corrente
di tutte le informazioni e nozioni
che il discente ha ricevuto nelle varie materie,
e deve poterle utilizzare.
Una comprensione approfondita deve derivare allo studente
dal constatare come uno stesso concetto giochi in vari campi.
0641
Aggiungerei una indicazione pratica:
per il primo biennio (e per tutti i "corsi di servizio")
ogni professore di matematica
dovrebbe ruotare su ogni materia:
e di conseguenza non vi dovrebbe essere
titolarità di cattedra per le materie di questi settori.
Sempre in coerenza con questa scelta,
il lavoro didattico
di ogni professore universitario di matematica
(e forse di ogni altra materia) a tempo pieno
0651
dovrebbe comprendere due impegni:
un corso istituzionale e un corso di ricerca.
Quest'ultimo, ragionevolmente, potrebbe essere semestrale
o anche ridursi ad un ciclo di seminari.
Per inciso:
anche sull'impiego, spesso irrazionale,
del nostro potenziale didattico
ci sarebbe motivo di autocritica.
Un osservatore imparziale che ispezionasse il nostro mondo
si troverebbe di fronte a due fatti inconciliabili:
0661
da un lato dipartimenti e istituti traboccanti di persone,
dall'altro, specialmente nei "corsi di servizio",
grandi aule in cui un solo docente,
senza alcun collaboratore,
deve tenere testa a più di duecento studenti.
Sempre a proposito
dell'efficacia dell'insegnamento universitario
penso che sia urgente togliere il vincolo
--- residuo delle non disinteressate follie degli "anni 70" ---
che ancora impedisce agli insegnanti secondari di essere
0671
esercitatori e collaboratori alla ricerca presso l'Università.
6. - Una sperimentazione appena iniziata.
Presso il Dipartimento di Matematica
dell'Università di Pisa
è stata avviata nel corrente anno accademico
una sperimentazione basata sulle idee che ho esposto.
Devo aggiungere che nel nostro ambiente
c'erano già tendenze verso l'innovazione,
0681
affiorate in passato
soprattutto nell'organizzazione
di un "precorso" per le matricole;
questa iniziativa non aveva però avuto successo
per mancanza di collaborazione
fra i docenti del "precorso" e i professori ufficiali.
Pertanto, la prima precauzione è stata di creare
una struttura sperimentale disgiunta da quella ordinaria.
La presenza di un gruppo di docenti molto motivati
e, in parte,
0691
affiatati dalla precedente esperienza del "precorso"
è stata una circostanza fortunata che, fra l'altro,
ha consentito di condurre l'operazione "a costo zero",
come è imposto dai tempi magri in cui stiamo vivendo.
I vincoli formali vigenti hanno consigliato di mantenere
la suddivisioni e le denominazioni attuali per le materie,
presentando la sperimentazione
come esclusivamente metodologica.
La struttura proposta è dunque la seguente:
nel primo anno
0701
i corsi di Algebra, Analisi, Geometria
vengono un po' sfrondati,
nello spirito delle idee che ho esposto;
così la materia dei tre corsi citati
viene ridotta allo spazio di due sole annualità.
La restante annualità è dedicata
ad un avviamento all'informatica e alla probabilità;
ci si riferisce qui all'informatica teorica
perché la pratica del calcolatore
è stata considerata
0711
come parte integrante di ogni materia
ed è anche sviluppata
in apposite esercitazioni al calcolatore.
La fisica viene portata avanti
in pieno raccordo con le materie matematiche;
vengono svolte anche esercitazioni in laboratorio,
sia pure con estensione limitata.
Il lavoro didattico svolto è stato veramente intenso:
gli allievi erano tenuti a svolgere settimanalmente
una prova scritta riguardante tutte le materie,
0721
che, in tempi particolari, aveva carattere fiscale.
I docenti si sono riuniti settimanalmente,
mettendo in comune le loro strategie didattiche.
Le valutazioni sono state svolte, per ora, in due tempi:
dapprima, nell'ultima settimana di maggio,
a conclusione del ciclo delle lezioni,
è stato esaminato
il profitto di ciascun allievo durante tutto l'anno;
a ciascuno è stata poi assegnata
una serie di temi per l'esame orale,
0731
che è stato svolto di fronte alla commissione
costituita dal corpo docente al completo.
Per un numero abbastanza ristretto di allievi
è stato pronunciato
un giudizio di non ammissione al secondo anno.
In qualche caso, peraltro,
anche in questa situazione di estremo insuccesso,
l'allievo ha potuto essere considerato sufficiente
in una o due delle quattro materie
(esito questo non privo di utilità per l'allievo
0741
che, anziché ripetere l'anno,
decida di iscriversi ad altro corso di laurea).
La posizione di ciascun allievo
è stata discussa ampiamente
sia all'interno del collegio docenti,
sia in presenza dell'allievo stesso;
in pochi casi è stato dato il consiglio
di cambiare completamente il corso di studi:
più frequente il consiglio di ripetere daccapo il primo anno.
Per la fine di settembre è prevista
0751
una nuova sessione di esami per gli studenti
che hanno manifestato qualche lacuna
o, che, comunque, desiderano migliorare la loro posizione.
C'è stato anche un piccolo numero di allievi molto bravi;
ma il dato più rassicurante è stato
il buon esito di molti allievi di livello medio,
alcuni dei quali,
dopo aver cominciato con scarso successo
lo studio della matematica nell'anno accademico precedente,
avevano preso la saggia decisione di ricominciarlo daccapo
0761
con la nuova formula.
L'osservazione di questi esami di tipo globale,
specialmente per chi ha esperienza della prassi precedente,
suscita una certa meraviglia:
l'allievo sa di essere già conosciuto,
nel bene e nel male e, in generale, non perde la serenità.
Accenno qui di sfuggita ad un grave problema
che incontrano i docenti universitari:
quello della selezione.
Che vi debba essere una selezione è ovvio,
0771
soprattutto quando, come accade oggi,
il filtro fra la Scuola Secondaria e l'Università
è pressoché nullo.
Tuttavia non deve essere una selezione distruttiva,
come è in gran parte oggi.
Personalmente,
sono preoccupato dell'impiego della matematica
a puro scopo selettivo,
come accade non raramente nelle facoltà di ingegneria,
in cui la matematica è, a volte,
0781
largamente impiegata come deterrente durante il biennio,
per essere poi lasciata spesso inoperosa nel triennio.
Se la sperimentazione ha raggiunto
una qualità soddisfacente
nella pratica dell'insegnamento,
nel rapporto umano e della organizzazione del lavoro,
molto resta ancora da fare soprattutto sui contenuti.
È evidente che ogni disciplina ha il suo particolare carattere
che non deve andare perduto;
tuttavia abbiamo la persuasione di essere solo agli inizi
0791
per quello che riguarda l'intarsio fra le varie materie.
È poi un pericolo generale di ogni sperimentazione
il voler conservare il tutto vecchio accanto al nuovo,
anche per non rischiare di essere male giudicati
dai colleghi che non vedono necessario un mutamento.
La sperimentazione pisana non sfugge a queste critiche.
Tuttavia, si può avere fiducia che,
con il procedere della sperimentazione,
le punte più specialistiche
--- che, inevitabilmente ogni insegnamento si costruisce
0801
quando opera in modo isolato
e si crea una sua scala interna di valori ---
cadranno e verranno sostituite
da una problematica interdisciplinare sempre più autentica.
Ho detto che,
volendo compiere una sperimentazione
che fosse facilmente realizzabile,
siamo stati costretti a mantenere il quadro formale attuale.
A cose fatte, questa è stata una circostanza favorevole
perché non siamo stati tentati
0811
di aggiungere semplicemente nuove materie,
ma siamo stati forzati ad operare riduzioni
nelle materie tradizionali
e a ricavare spazi per i nuovi contenuti,
raccordandoli con quelli classici,
anche se, come ho detto,
questo lavoro di compenetrazione è solo cominciato.
Riflettendo a questa esperienza,
penso che sarebbe illusorio fare una riforma
che si limitasse a creare delle nuove materie,
0821
con nuove categorie di docenti
pronti anch'essi a delimitare
e a difendere il loro "terreno di caccia".
Qualche difficoltà è stata avvertita
anche riguardo all'uso del calcolatore;
non si può ancora parlare di uso spontaneo e disinvolto.
Anzitutto, non si sono realizzate ancora
le condizioni per un uso del calcolatore
durante la lezione ordinaria:
si tratta di un problema tecnico che dovrebbe essere banale,
0831
ma che ancora non lo è,
almeno se si devono cercare soluzioni a basso costo.
Per quello che riguarda il lavoro degli allievi,
il passaggio ad ore stabilite nell'aula di informatica
è sempre qualcosa di diverso dall'uso spontaneo
di cui si parlava in sede di programma.
7. - Ritornando alla formazione degli insegnanti.
Avviandomi alla conclusione
0841
e ritornando sul tema specifico di questa esposizione,
mi pare interessante riflettere, più in generale,
su ciò che è stato fatto nel nostro paese
nell'ultimo mezzo secolo per la formazione degli insegnanti.
Si fa presto a dirlo: nulla, o quasi nulla.
C'è in questo il peso di una tradizione:
come dicevo all'inizio,
si pensa che un buon matematico,
un buon letterato, ecc.
diventino automaticamente, se messi in cattedra,
0851
buoni insegnanti.
C'è qualcosa di vero,
perché in molti casi il miracolo si compie,
tuttavia spesso il metodo non funziona,
soprattutto da quando lo stato italiano
ha rinunciato praticamente ad ogni controllo
per selezionare effettivamente un buon matematico
o un buon letterato.
Guardando al passato,
quella che poteva sembrare un'imprevidenza
0861
o una negligenza
assume tutti i connotati di un disegno politico preciso,
a servizio della fragile struttura sociale ed economica
del nostro paese:
tenere l'insegnamento come valvola di sicurezza
contro la disoccupazione intellettuale.
Ma negli ultimi anni
la disoccupazione ha raggiunto valori così elevati
e la popolazione giovanile ha toccato numeri così bassi
che il meccanismo si è inceppato, come si sa.
0871
Una delle grosse occasioni mancate
fu l'istituzione della nuova Scuola Media (1963).
Nessun tentativo fu fatto
per formare un corpo docente adatto ai nuovi compiti
(penso, in particolare, alla fusione in un'unica cattedra
--- e, successivamente, in un'unica materia ---
della Matematica e delle Scienze della Natura)
e neppure per aggiornare il corpo docente
che era già in organico.
Eppure non si può dire
0881
che l'ambiente scientifico italiano fosse inerte.
Ricorderò in particolare un convegno
svoltosi a Villa Falconieri (Frascati) nel settembre del 1965
a cura della C.I.I.M. (Commissione Italiana
per l'Insegnamento della Matematica),
in cui si fronteggiarono due progetti
per la formazione di insegnanti di Matematica e Scienze:
uno preparato dal Prof. Ugo Morin, l'altro preparato da me.
(Colgo questa occasione
per un ricordo affettuoso dell'amico Morin,
0891
docente in questo Ateneo,
persona di grande intelligenza e amabilità,
che operò moltissimo per l'insegnamento della matematica,
sia nella ricerca sia nella pratica).
Il progetto del Prof. Morin consisteva
in un corso quadriennale completo,
mentre il mio contemplava
un primo biennio di tipo scientifico qualsiasi
(in Matematica, Fisica, Biologia, Chimica, ecc.)
seguito da un secondo biennio
0901
dedicato ad un completamento culturale,
alla formazione psico-pedagogica e al tirocinio.
Io riconoscevo al progetto del Prof. Morin
una maggiore organicità e completezza,
ma sostenevo che il mio progetto
aveva maggior rapidità di intervento,
tenendo conto dell'urgenza.
Come vedete, sono passati trenta anni
e si deve ancora cominciare a fare qualcosa ...
Negli anni che seguirono
0911
ci fu una fioritura di progetti interessanti
preparati da varie Facoltà di Scienze:
ricorderò in particolare quello di Roma,
in cui Bruno de Finetti aveva profuso
il suo entusiasmo e la sua intelligenza (5).
(5) Per un'esposizione delle idee di B. DE FINETTI su questo tema
rinviamo all'ampio articolo
Insegnamento di Materie scientifiche nella Scuola Media unica
e preparazione degli insegnanti,
Periodico di Matematiche, Vol. XLII (1964), 72-114.
0921
Ad un certo punto con la legge 441 del 12 marzo 1968
(legge istitutiva dell'Università della Calabria)
fu aperta la possibilità
di istituire corsi di laurea finalizzati
alla formazione di insegnanti di Matematica e Scienze
e di Materie Letterarie per la Scuola Media;
la legge prescriveva un corso di laurea quadriennale
seguito da un anno di tirocinio guidato.
Si trattava di un progetto interessante;
ma il Ministero della P.I.,
0931
con una serie di ostacoli e dilazioni,
bloccò la legge:
le domande,
presentate dalle numerose facoltàinteressate,
incontrarono un vero campo minato di cavilli
e furono respinte.
(Per curiosità:
non mi risulta che
l'articolo della legge riguardante questo punto
sia stato mai abrogato!).
0941
Negli anni che seguirono
furono istituiti i più disparati corsi di laurea,
per i più disparati usi, ma, per la scuola, nulla.
In tempi più recenti,
la legge del 19 novembre 1990, n. 341
ha fissato norme completamente nuove
sulla formazione degli insegnanti affidando, in particolare,
la formazione degli insegnanti della scuola secondaria
a Scuole universitarie biennali di specilizzazione
per i laureati nelle varie discipline.
0951
D'altra parte, anche questa legge
è rimasta finora inoperante
perché i Ministri della P.I.
che si sono avvicendati in questo ultimo quinquennio,
pur di vario orientamento politico,
hanno trovate grosse difficoltà nel realizzarla
o, forse, hanno preferito tenerla in sospeso
scorgendovi più fastidi che vantaggio politico.
In questo momento, come ho detto,
la scuola non assume insegnanti;
0961
ma questo stato di crisi, almeno per la Matematica,
non durerà a lungo.
Anzi, è naturale approfittare di questa pausa forzata
per cominciare a fare qualche esperimento serio
approfittare di questa pausa forzata
per la formazione degli insegnanti.
Alcune università (Siena, Pisa, Trento, ...),
preoccupate della lunghezza
dell'iter di attuazione della legge
e dello stato di frustrazione
0971
in cui si trovano tanti validissimi neo-laureati,
hanno istituito dei corsi annuali che dovrebbero,
in fase transitoria,
dare titolo per abbreviare la scuola di formazione
non appena questa verrà istituita.
Ma il Ministero della P.I.
sembra voler fare il vuoto attorno a questi corsi,
non concedendo neppure
che ad essi venga attribuito un punteggio,
punteggio che non è negato ad iniziative di aggiornamento
0981
assai meno rilevanti
sia dal punto di vista qualitativo che quantitativo.
Certamente, in questo momento
occorre insistere per l'attuazione della legge citata,
anche se non rappresenta la migliore soluzione possibile.
Ma quale potrà essere in futuro
la via migliore per formare gli insegnanti?
L'indirizzo didattico per il corso di laurea in matematica
ha avuto, specialmente nel suo esordio,
un certo prestigio ed una certa validità,
0991
ma è stato svalutato dal fatto di non poter essere
titolo preferenziale nei concorsi all'insegnamento.
Inoltre occorre ammettere
che esso si trova in crescente difficoltà
nei nostri dipartimenti;
francamente, è spesso considerato un corpo estraneo,
come, del resto, tutti i gruppi minoritari e interdisciplinari.
Mi domando se non sia il caso di creare
dei "Dipartimenti dell'Educazione Scientifica"
e di entrare organicamente
1001
nella facoltà di "Scienze della Formazione",
che è la nuova versione della Facoltà di Pedagogia.
Tutti discorsi, questi, che non avrei mai fatto da giovane ...
Intendiamoci:
non mi sono convertito alla pedagogia.
Molto di ciò che va sotto il titolo di pedagogia
è materia di puro buon senso:
quando vi si vuole aggiungere un'ossatura teorica,
spesso si ottengono teorie fragili,
che variano secondo la moda.
1021
Ma vi sono anche
solide ricerche sperimentali sull'apprendimento,
fra cui si possono ormai citare
quelle dei nostri "Nuclei di Ricerca Didattica".
In pochi anni,
abbiamo assistito ad una rapida crescita
quantitativa e qualitativa
delle ricerche italiane
nel campo della psicologia dell'apprendimento matematico.
Una partecipazione organica dei matematici
1031
alle facoltà di "Scienze della Formazione"
si renderà comunque necessaria
se si vorrà collaborare
alla formazione degli insegnanti elementari.
I matematici sono entrati in questo campo
--- la cui importanza culturale e sociale
non ha bisogno di essere sottolineata ---
all'inizio degli "anni 80"
e hanno potuto partecipare attivamente
alla formulazione dei nuovi programmi.
1041
Il corso di laurea quadriennale
che è stato progettato per la formazione dei maestri
corre il rischio di essere da un lato generico,
dall'altro eccessivamente lungo,
specialmente se si riflette che,
con il passaggio al nuovo regime,
l'iter per la formazione di un maestro
verrà aumentato di colpo di cinque nni.
Comunque, ciò di cui mi sono convinto
è che per avere buoni insegnanti
1051
per ogni livello scolastico
si deve creare un ambiente
dove i giovani si formino con lo scopo,
già dichiarato e condiviso fin dall'inizio,
di diventare insegnanti.
La professione dell'insegnante è troppo importante
1057
per poter essere scelta per esclusione o per ripiego.