l-camp18.txt da l-camp0.htm - 2010-11-11 PREMESSA a "L'insegnamento della matematica" v. sezione 4a di l-camp16.txt La "Commission internationale pour l'etude et l'amelioration de l'enseignement des mathematiques" ha iniziato (1955) con questo volume una serie di pubblioazioni che raccolgono il frutto della sua attivita` e, principalmente, di quei suoi Convegni, tenuti ogni anno in un diverso paese, nei quali lo scambio delle idee e gli incontri delle varie mentalita` e culture - che rispecchiano tradizioni, bisogni e formazioni differenti - fanno nascere fermenti di opere e feconde suggestioni di ricerca. L'interesse ogni giorno piu` largo verso i problemi dell'insegnamento della matematica ha origine ed aspetti molteplioi, direttamente collegati ad orientamenti generali del pensiero e ad esigenze del nuovo abito di vita che si sta imponendo. La tecnica domina e sempre piu` dominera`: cio` richiede una sempre maggiore diffusione di conoscenze scientifiche ed implica familiarita` con particolari modi di ragionare, osservare, vedere e interpretare. Ma nessuna nuova, o piu` intensa seminagione, puo` essere fatta sopra un terreno non convenientemente preparato, altrimenti il raccolto delle messi non sara` adeguato - ne' per quantita`, ne' per qualita` - allo sforzo ed al lavoro compiuto, e la specie si andra` via via impoverendo. Ebbene, il problema fondamentale e` proprio questo: la preparazione del terreno su cui innestare la cultura necessaria ai giovani di oggi e di domani, e che deve servire di base anche alla loro formazione spirituale, morale e sociale. Di qui la necessita` di un approfondimento e di un riesame dell'arte dell'insegnare, e di una revisione dello spirito a cui l'insegnamento e` informato. Di fronte a queste istanze la responsabilita` della matematica si fa gravissima, come quella di una disciplina che ha in se' elementi ad un tempo indispensabili per l'acquisizione di qualsiasi conoscenza tecnica, e tali da poter, almeno in parte, sostituire quella preparazione umanistica, filosofica e storica, che ha fino ad oggi dominato nelle nostre scuole, ma che ormai sembra destinata a veder attenuato il proprio potere di risonanza nell'animo dei giovani. Tutto cio` significa - e non e` poco - adeguare i modi ed i mezzi d'insegnamento ad una popolazione scolastica quanto mai eterogenea, con disparita` di bisogni e di capacita` intellettuali; piu` larga per numero e provenienza; molteplice per la varieta` di formazione e le influenze ambientali di cui risente; e, soprattutto, vuol dire ricercare e porre in primo piano, potenziandolo ed arricchendolo, quanto nella matematica si trova di valori umani, filosofici, estetici, di rapporti con altre forme di indagine, di possibilita` di condurre a guardare verso orizzonti piu` ampi. Insomma, il fine dell'insegnamento matematico non puo` esaurirsi nel fornire ai giovani le nozioni per giungere al possesso di una tecnica. E nemmeno puo` bastare l'aggiungervi - come fino a ieri si riteneva sufficiente - quelle aspirazioni alle quali si fa riferimento quando si parla di valore formativo della matematica, di ginnastica mentale a cui essa da` occasione; ed analoghe espressioni. Occorre qualche cosa di piu`: un diverso lumeggiare il pensiero matematico e le varie teorie in cui si esprime; un mettere in maggior risalto la sua congenialita` alla nostra mente, e il suo collegarsi ed intrecciarsi ad interessi multiformi; un dare coscienza della vastita` dei suoi echi nell'animo e nelle facolta` creative dell'uomo. Questo e` il non facile compito: ed il realizzarlo - per la parte in cui e` realizzabile - richiede cambiamento di metodi, di impostazioni, di concetti. Cosi`, almeno sotto l'aspetto in cui e` visto in Italia, si presenta globalmente il problema. * * * E chiama in causa le scienze e le tecniche dell'insegnare: dalla pedagogia alla psicologia; dal rigore logico all'accorgimento intuitivo; dalla sistemazione espositiva di questo o quel capitolo alla costruzione di sintesi e visioni unitarie; dalla ricerca di fattori generali nell'educazione matematica al riflesso di questa sopra quelli. Questi fermenti e rielaborazioni non sono ignoti ai nostri insegnanti; ed anche coloro che gelosamente si tengono chiusi nella turris eburnea di una presunta autosufficienza, non riescono piu` ad impedire l'infiltrarsi di queste aure di nuova vita. Ma non tutti sono a conoscenza dei primi organici risultati conseguiti, quale che ne sia il valore e comunque appaiano circoscritti: senza dimenticare che non debbono mai essere riguardati come definUivi, ma costituire materia di ulteriori indagini. Ci pare quindi opportuno che un libro come quello che presentiamo - cosi` vivo ed attuale - possa diffondersi anche fra noi, tradotto nella nostra lingua. Ne sono autori cinque dei membri fondatori della "Commission internationale" di cui si e` detto: uno psicologo, Jean Piaget, professore nelle Universita` di Ginevra e di Parigi; tre matematici, Jean Dieudonne', della Northwestern University, Evanston, Ill. (Stati Uniti), Andre' Lichnerowicz, professore al College de France, e Gustave Choquet, dell'Universita` di Parigi; ed un pedagogista, Caleb Gattegno, gia` insegnante all'Institute of Education dell'Universita` di Londra ed ora aggregato all'Unesco. Il titolo originale, L'enseignement des mathematiques, deve essere precisato nel senso che le scuole di cui ci si occupa sono esclusivamente - secondo le nostre denominazioni - le "medie" e le liceali. E quale matematica si tratta di insegnarvi? quella classica, tradizionale, o la moderna? L'alternativa sta, cioe`, nella scelta fra una matematica che ha per base concetti (quali i numeri interi, i punti, le rette, ...) e proposizioni elementari alla cui acquisizione si giunge intuitivamente attraverso l'esperienza di ogni giorno; e una matematica nella quale il giuoco della logica agisce allo scoperto fino da principio, e quindi non vi si parte da enti suscettibili di richiamare immagini concrete e da esse prendere origine, ma vi si pongono a fondamento sistemi operatori e strutture. Gli autori rispondono unanimi sostenendo l'opportunita` di compenetrare l'insegnamento dello spirito delle matematiche moderne, che vedono ricco di vantaggi. I tre matematici illustrano la questione dal punto di vista storico, in guisa da mettere in rilievo come, in tutto lo sviluppo della nostra scienza, si debba riconoscere una continua ascesa verso l'astrazione, tanto che, fra gli "oggetti matematici" su cui si opera e le regole operatorie, sono queste ultime a costituire l'essenza vera delle cosruzioni matematiche, e non la "natura" delle prime che vi appare anzi del tutto estranea. E pertanto essi ritengono che, anche in un corso elementare, convenga insistere su quelle proprieta` operatorie che si mantengono valide nel passaggio da una teoria all'altra (come le proprieta` dei numeri interi e dei polinomi; le leggi di composizione di certi insiemi di numeri; ecc.), e che, per questo loro carattere di generalita` e di sintesi, presentano molteplici suggestioni. In questo stesso ordine di idee, ma da un diverso punto di vista, le affermazioni del Piaget portano un contributo veramente notevole, che colpisce e conduce a riflettere. Con attente e raffinate esperienze sulla nascita e lo sviluppo dei concetti matematici nei ragazzi delle diverse eta`, egli e` pervenuto a stabilire che alle tre strutture fondamentali dell'edificio matematico, secondo la moderna scuola francese detta "del Bourbaki", e cioe` le strutture algebriche, quelle dell'ordine e le topologiche, corrispondono tre tappe fondamentali nell'apprendimento dei concetti matematioi da parte del fanciullo. Si riconosce infatti che nel bambino si formano, piu` o meno nello stesso periodo, capacita` di comprensione che appaiono collegate a strutture di tipn algebrico (per esempio: il senso della reversibilita` delle azioni; della presenza, entro una classe, di un'altra che ne e` una parte; ecc.) e dell'ordine (come la "seriazione"): e si ricordano, a questo proposito, le esperienze, ormai classiche, dello stesso Piaget, sulla difficolta` che incontra il bambino fino verso i sei anni a disporre in ordine d'altezza dei diversi regoli di legno. Mentre i concetti elementari che rientrano nelle strutture topologiche si affacciano in precedenza e vengono rapidamente acquisiti. Cosi`, per esempio, l'ordine di costruzione e di collegamento delle nozioni geometriche, nello sviluppo spontaneo della mente del bambino, non sembra affatto conforme all'ordine storico del progresso della geometria: egli si impossessa di idee e trova i suoi primi orientamenti in un campo che appartiene alla topologia assai piu` presto di volgersi verso la geometria euclidea. Il pedagogista Gattegno si ricollega agli altri autori, mostrando come nell'insegnamento si debba aspirare ad ottenere il piu` stretto connubio fra le strutture matematiche e quelle mentali, e porta il suo maggior contributo, originale e significativo, con lo sforzo di porre a base della didattica matematica il principio della liberta`, fondamentale nella moderna pedagogia. Egli vorrebbe che programmi prestabiliti e consuetudine di metodi non costringessero l'allievo a seguire delle strade gia` segnate; persino lo stesso procedimento deduttivo, che fa capo a premesse verso le quali il ragazzo non si e` volto spontaneamente, ma e` stato condotto da altri; persino la scelta degli esempi che, per apparire significativi, hanno bisogno di essere semplici, e quindi artificiali; la stessa aritmetica che, limitandosi al "numerico", impone particolari restrizioni; tutto cio` impedisce all'allievo di procedere secondo un suo naturale sviluppo, ed e` grave errore. * * * Il lettore italiano ne trarra` qualche motivo di perplessita`! Ma lo abbiamo detto: non presentiamo questo libro come una fonte di verita` acquisite, ma per indurre a meditare; e dar modo ad ognuno di sapere che si vive, si pensa, ci si agita - sia pure con non ancora composta armonia - al di la` della linea che chiude il suo orizzonte, per luminosa e vasta che possa sembrargli. Abbiamo detto anche che fra i duri problemi - e le responsabilita` - di cui e` gravato l'insegnamento della matematica, e` la necessita` di portare e tener vivi elementi umani ed umanistici in ogni piu` razionale e gelida speculazione, cosi` da attenuare i danni dell'impersonalita` della tecnica. Cio` richiede, in primo luogo, di conservare alla costruzione scientifica, almeno limitatamente ai suoi elementi, immediatezza di contatti ed aderenza con il mondo della pratica quotidiana. A quest'osservazione, non tutti danno - come e` ben naturale - un'uguale importanza, poiche' non tutti attribuiscono al problema dell'insegnar matematica le medesime finalita`. Ed allora si puo` ben comprendere come altri, diversamente orientato, ritenga di dover introdurre le astratte concezioni della cosiddetta matematica moderna fino quasi dai primi passi dell'insegnamento. A noi, in questo campo, un errore di tempestivita` sembra invece quanto mai pericoloso, poiche' puo` uccidere il fascino di idee che a posteriori si rivelano tanto alte e significative e potenti. Ma e` proprio dai contrasti delle vedute che nascono le discussioni ed il bisogno di approfondimenti, la necessita` di sentire piu` voci e di allargare le esperienze personali, mentre l'opera altrui induce a riflettere e a cercare di capirne i motivi. Qui, soprattutto, debbono essere ricercati gli intendimenti con i quali presentiamo il volume. Firenze, 13 febbraio 1959 LUIGI CAMPEDELLI Ordinario nell'Universita` di Firenze EMMA CASTELNUOVO Ord. nella Scuola Media "T. Tasso" di Roma