05 Prefazione 07 1. EPISTEMOLOGIA DELLA MATEMATICA 09 1. L'evoluzione recente della matematica 10 2. La crisi della geometria nel secolo XIX 13 3. L'aspetto moderno della matematica. Il metodo assiomatico 16 4. La questione dei fondamenti dell'aritmetica e della geometria 18 5. Alcuni aspetti della matematica di oggi 21 6. Formalizzazione e deduzione 25 2. GENESI DEI CONCETTI MATEMATICI E QUESTIONI GENERALI DI DIDATTICA 27 1. La genesi dei concetti matematici 28 2. La costruzione dei concetti geometrici 29 3. Prime conseguenze didattiche 31 4. Il valore formativo della matematica 32 5. I momenti dell'acquisizione dei concetti matematici 35 3. I NUMERI NATURALI: ASPETTO ORDINALE E CARDINALE 37 1. I numeri naturali: primo incontro con la matematica 37 2. I concetti e la loro rappresentazione; le convenzioni di numerazione 39 3. La genesi del concetto di numero naturale 41 4. Manipolazioni del reale empirico ed operazioni sui numeri 43 5. I problemi della fondazione rigorosa del concetto di numero naturale 46 6. L'aspetto cardinale; equipotenza di insiemi finiti ed astrazione 49 4. FONDAMENTI DI GEOMETRIA. LE TRASFORMAZIONI 51 1. Sulla definizione di geometria 52 2. La definizione dei concetti fondamentali della geometria 52 3. La genesi dei concetti della geometria. Il ruolo della fantasia 54 4. La ricerca di invarianti e l'impostazione kleiniana della geometria 55 5. La geometria delle trasformazioni 59 5. GRANDEZZE E MISURE 61 1. La rappresentazione del reale mediante i numeri. Le grandezze 64 2. La rappresentazione del reale mediante i numeri. Le misure 66 3. Proprietą della misura 68 4. Le convenzioni di rappresentazione dei numeri razionali 71 6. RAGIONAMENTO, DIMOSTRAZIONE, VERIFICA 73 1. Il ragionamento, attivitą tipicamente umana 74 2. La definizione 77 3. Le proposizioni 79 4. Deduzioni immediate e mediate 82 5. La dimostrazione 84 6. Dimostrazioni per assurdo 86 7. Dimostrazioni per induzione 88 8. La soluzione dei problemi matematici. L'analisi e la sintesi 91 INDICE ANALITICO