l-eu2
(2007-04-..)


Attilio Frajese e Lamberto Maccioni
"Gli ELEMENTI di Euclide"

Estratti (senza le note) tratti dalle pagine
65 e 70 (definizioni),
71      (postulati),
73-75   (nozioni comuni),
77-78   (proposizione I).


DEFINIZIONI (TERMINI)
    I. Punto è ciò che non ha partii.
   II. Linea è lunghezza senza larghezza
   ...
XXIII. Parallele sono quelle rette che,
       essendo nello stesso piano
       e venendo prolungate illimitatamente dall'una e dall'altra parte,
       non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti.

POSTULATI
    I. Risulti postulato:
       che si possa condurre una linea retta
       da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
   II. E che una retta terrminata (= finita)
       si possa prolungare continuiunente in linea retta.
  III. E che si possa descrivere un cerchio
       con qualsiasi centro ed ogni distanza (= raggio).
   IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.
    V. E che, se una retta
       venendo a cadere su due rette
       forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti
       (= tali che la loro somma sia minore di due retti),
       le due rette prolungate illimitatamente
       verranno ad incontrarsi da quella parte
       in cui sono gli angoli minori di due retti
       (= la cui somma è minore di due retti).

NOZIONI COMUNI
   I. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.
  II. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali,
      le totalità sono uguali.
 III. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali,
      i restisono uguali.
 VII. E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.
VIII. Ed il tutto è maggiore della parte.
 [IV. E se cose ugtiali sono addizionate a cose disuguali,
      le totalità sono disuguali].
  [V. E doppi di una stessa cosa sono uguali fra loro].
 [VI. E metà di una stessa cosa sono uguali fra loro].

PROPOSIZIONE I --
Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero.
Sia AB la retta terminata data.
Si deve dunque costruire sulla retta AB un triangolo equilatero.
Con centro A e raggio AB risulti descritto il cerchio BCD (post. III),
di nuovo risulti descritto,
con centro B e raggio BA, il cerchio ACE (id.),
e dal punto C, in cui i cerchi si tagliano fra loro,
risultino tracciate ai punti A, B
le rette congiungenti CA, CB (post. I).
Ora, poiché il punto A è centro del  cerchio CDB,
si ha che AC è uguale ad AB (def. XV);
di nuovo, poiché il punto B è centro del cerchio CEB,
si ha che BC è uguale a BA (id.).
Ma fu dimostrato che pure CA è uguale ad AB;
quindi ciascuna delle due rette CA, CB è uguale alla retta AB.
Ma cose che sono uguali ad una stessa
sono uguali anchefra loro (noz. com. I):
sono perciò uguali anche CA, CB:
quindi le tre rette CA, AB, BC sono uguali fra loro.
Dunque, il triangolo ABC è equilatero.
Ed è stato costruito sulla retta terminata data AB.
C.D.F.

È APPLICATA IN: I, 2, 9, 1O, II.