David Hilbert
Fondamenti della geometria
Milano, Feltrinelli, 1970

(2007-10-03)

INIZIO DEL CAPITOLO I (pag. 3)

Capitolo primo
I cinque gruppi di assiomi
1. Gli elementi della geometria ed i cinque gruppi di assiomi
Spiegazione --
Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti:
chiamiamo punti gli oggetti del   p r i m o   sistema
e li indichiamo con A, B, C, ...;
crhiamiamo rette gli oggetti. del   s e c o n d o  sistema
e li indichiamo con a, b, c, ...;
chiamiamo piani gli oggetti del   t e r z o   sistema
e li indicruamo con α, β, γ, ...;
i punti si chiamano anche
gli elementi della geometria della retta,
i punti e le rette gli elementi della geometria piana,
i punti, le rette ed i piani
gli elementi della geometria solida
o dello spazio.

Noi consideriamo punti, rette e piani
in certe relazioni reciproche
ed indichiamo queste relazioni con parole come
"g i a c e re", " f r a", "c o n g r u e n t e";
la descrizione esatta e completa,
ai fini matematici, di queste relazioni
segue dagli assiomi della geometria.

Noi possiamo suddividere gli assiomi della geometria
in cinque gruppi;
ciascuno di questi gruppi esprime certi fatti fondamentali
omogenei della nostra intuizione.
Indicheremo questi gruppi di assiomi nel seguente modo:
I.      1-8. Assiomi di collegammto,
II.    1-4. Assiomi di ordinammto,
III.   1-5. Assiomi di congruenza,
IV.          Assioma delle parallele,
V.    1-2. Assiomi di continuità.