PRINCIPI GENERALI
DEL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Di PIERRE-SIMON (Marquis de) LAPLACE
(1749-1827)
(2007-01-05)

estratto da Essai philosophique sur les probabilités
in Momenti del pensiero matematico
di Carlo Felice Manara e Gabriele Lucchini
>>> l-mpm

l° principio -
Il primo di questi principi
è la definizione stessa della probabilità,
definizione che, come abbiamo visto,
porta a definire la probabilità come
rapporto tra il numero dei casi favorevoli
e quello dei casi possibili.

2° principio -
Ma questa definizione è basata sulla ipotesi
che i diversi casi siano tutti ugualmente possibili.
Se essi non sono ugualmente possibili,
bisogna prima determinare le relazioni
che intercedono tra le rispettive possibilità,
e il giusto apprezzamento di queste relazioni
è uno dei punti più delicati della teoria del caso.
Allora la probabilità sarà
la somma delle probabilità di ogni caso favorevole.

Chiariremo questo principio con un esempio.

Supponiamo di lanciare in alto una moneta,
larga ma molto sottile,
le cui due facce opposte,
che chiameremo «testa» e «croce»,
siano perfettamente simili tra loro.

Cerchiamo la probabilità di fare «croce»
almeno una volta in due lanci.
È chiaro che possono presentarsi quattro casi,
tutti ugualmente possibili: e cioè:
«croce» al primo ed al secondo lancio;
«croce» al primo e «testa» al secondo;
«testa» al primo lancio e «croce» al secondo;
ed infine «testa» in tutti e due i lanci.
I tre primi casi sono favorevoli all'evento
del quale stiamo cercando la probabilità
e questa è dunque uguale a 3/4;
quindi si può scommettere 3 contro 1
che si troverà almeno una volta «croce» in due lanci.

Questo gioco potrebbe anche essere analizzato in altro modo:
precisamente si possono considerare soltanto tre casi:
«croce» al primo lancio,
il che ci risparmia di fame un secondo;
«testa» al primo lancio e «croce» al secondo;
infine «testa» al primo ed al secondo lancio.

Quindi la probabilità avrebbe il valore 2/3,
se (come fa D'Alembert) 15
si considerano questi tre casi come ugualmente possibili.
      15 Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783), matematico e filosofo francese.
Ma si vede subito che la probabilità
di avere «croce» al primo lancio è 1/2,
mentre la probabilità di ciascuno degli altri due casi è 1/4;
e ciò perché il primo caso può essere considerato
come un evento, che è composto da due altri:
quello che dà «croce» al primo ed al secondo lancio
e quello che dà «croce» al primo e «testa» al secondo.

Quindi si ottiene la probabilità uguale a 3/4
se si somma la probabilità di 2/4,
che è quella dell'evento di croce» al primo lancio,
alla possibilità di «testa» al primo e di «croce» al secondo,
che è 1/4;
e ciò si accorda con la ipotesi che si facciano due lanci.
Questa ipotesi non cambia in nulla
la sorte di chi scommette per questo evento;
serve soltanto a ridurre i diversi casi possibili
ad altri che sono tutti ugualmente possibili.

3° principio -
[...]

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NB - Sull'errore di D'Alembert rimando al lemma "croix ou pile"
         della Encyclopédie.