LEONHARD EULER
(cfr. presentazione)

      Leonhard Euler 1
il cui nome è anche italianizzato in "Eulero",
è stato giudicato come
il più grande matematico del secolo XVIII.
            1 Nato a Basilea nel 1707,
            nel 1727 fu chiamato da Caterina I alla Accademia di Pietroburgo,
            dove nel 1730 divenne professore di fisica
            e nel 1733 divenne professore di matematica.             Nel 1741 fu chiamato da Federico di Prussia a Berlino,             dove fu nominato direttore della classe matematica di quella accademia.             Nel 1766 ritornò a Pietroburgo             ed ivi rimase fino alla sua morte, avvenuta nel 1783.

      Innumerevoli sono i contributi fondamentali che egli apportò a molti rami della matematica, alla analisi matematica, alla teoria dei numeri, alla geometria, ecc. In particolare ricordiamo che a lui si deve la utilizzazione di schemi grafici per rappresentare i rapporti logici che ancora oggi vengono chiamati "diagrammi di Eulero" o anche "diagrammi di Eulero-Venn" 2.
            2 Cfr. pago 146.             {Le pp. 144-152 di Momenti del persiero matematico
            sono dedicate a Gottfried Wilhelm von Leibnitz;             sui diagrammi segnalo Periodico di Matematiche, 1980, n.1-2}.

      È molto difficile dare un'idea dell'opera di Eulero senza utilizzare il linguaggio tecnico della matematica; ci limitiamo pertanto a presentare alcuni passi del suo saggio nel quale egli risolve il problema che viene detto "dei sette ponti di Königsberg" 3.
            3 Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.
            presentato alla Accademia delle Scienze di Pietroburgo il 26 agosto 1736,
            pubblicato nei Commentarii academiae scientiarum Petropolitane
            e ristampato in Leonhardi Euleri Opera Omnia,             Series prima - opera mathematica - volumen septimum,             Lipsiae et Berolini, Typis et in aedibus B. G. Teubneri, MCMXXIII;             una traduzione inglese intitolata The Seven Bridges of Königsberg             è riportata in The World of Mathematics di James R. Newman,             London, George Allen and Unwin Ltd., 1960 (pp. 573-580, volume primo).
Infatti, viene riconosciuto da molte parti che Eulero con quesla opera dà inizio ad una nuova branca della matematica: questa, che oggi viene chiamata" topologia" e viene considerata come fondamentale per tutta la matematica, viene da lui presentata come una analisi "qualitativa" dei rapporti geometrici.
      In questo lavoro Eulero non solo dà la soluzione del "problema" e delle sue possibili generalizzazioni ma pone anche le basi di un metodo di portata ben più vasta, che, usando il modo di esprimersi di oggi, possiamo così presentare, facendo riferimento all'enunciato del problema stesso: le regioni sono sostituite con
punti e i ponti con archi che congiungono i punti; i punti vengono chiamati vertici e un vertice viene detto pari o dispari a seconda che il numero di archi che escono da esso è pari o dispari; questa rappresentazione viene chiamata grafo.
      Il problema, dei sette ponti di Königsberg o di un numero qualsiasi di ponti e regioni, si traduce in un problema di percorrenza di grafi e i risultati di Eulero valgono per qualsiasi problema che ammetta la stessa rappresentazione.

      1. - La branca della geometria che si occupa delle grandezze è stata accuratamente studiata già nel passato, ma c'è un'altra branca ancor oggi quasi sconosciuta: di essa parlò per primo Leibnitz, chiamandola "geometria di posizione" (geometria situs) 4.
            4 Conserviamo, qui e nel seguito, la dizione orginaria di Eulero
            anche se oggi è normalmente sostituita con "topologia".
Questa branca della geometria tratta delle relazioni che dipendono solo dalla posizione e studia le proprietà di posizione; essa non prende in considerazione le grandezze e non coinvolge calcoli con quantità. Ma finora non sono state date soddisfacenti definizioni dei problemi appartenenti a questa geometria di posizione o dei metodi da usare per risolverli. Recentemente è stato proposto un problema che, per quanto sicuramente appartenente alla geometria, non richiede la determinazione di una grandezza e non può essere risolto con calcoli su quantità; conseguentemente, non ho esitato ad assegnarlo alla geometria di posizione, soprattutto perché la risoluzione richiede solo considerazioni di posizione e i calcoli non sono di alcuna utilità. In questo saggio esporrò il metodo che ho scoperto per risolvere questo tipo di problemi, metodo che può servire come esempio della geometria di posizione.
      2. - Il problema, che so essere ben noto, è il seguente. Nella città di Königsberg in Prussia c'è una isola A, chiamata "Kneiphof", circondata da due rami di un fiume (Pregel) nel modo indicato nella figura 1. Ci sono sette ponti, a, b, c, d, e, f, g, che attraversano i due rami.
      La domanda è se una persona può programmare una passeggiata in modo da passare su ciascun ponte una e una sola volta. Mi fu detto che, mentre alcuni negavano la possibilità di fare una tale passeggiata e altri erano in dubbio, non c'era alcuno che sostenesse la possibilità di farla.
      A partire dal precedente, ho formulato per me stesso il seguente problema generale: data una qualsiasi configurazione di rami nei quali si dirama un fiume e un qualsiasi numero di ponti, determinare se è o non è possibile passare su ciascun ponte esattamente una volta.
      3. - Il problema particolare dei sette ponti di Königsberg può essere risolto con una accurata elencazione di tutti i cammini possibili e il rilevamento di quelli, se ce ne sono, che soddisfano la condizione.
      Questo metodo di risoluzione è però troppo tedioso e difficile a causa del gran numero di combinazioni possibili, e in altri problemi con un numero molto maggiore di ponti non potrebbe essere usato. Una analisi fatta con il detto metodo porta a un gran numero di dettagli irrilevanti per il problema, ed è per questo che il metodo è tanto pesante.
      Di conseguenza l'ho scartato e ne ho cercato un altro più rivolto allo scopo, cioè un metodo che mostrasse solo la possibilità di trovare una passeggiata soddisfacente alla condizione vista; un tal approccio, ero convinto, sarebbe stato più semplice.
      4. - Tutto il mio metodo si basa su un appropriato e conveniente modo di indicare la traversata sui ponti, nel quale uso lettere maiuscole, A, B, C, D, per indicare le diverse regioni che il fiume separa l'una dall'altra. Il passaggio dalla regione A alla regione B attraverso il ponte a o b lo indico con le lettere AB,
delle quali la prima indica la regione di provenienza e la seconda la regione d'arrivo rispetto al passaggio del fiume.
      Se il viaggiatore passa poi da B a D attraverso il ponte f,
il passaggio è indicato con le lettere BD; indico i due passaggi AB e BD fatti successivamente semplicemente con le tre lettere ABD, dato che la lettera di mezzo B indica la regione di arrivo del primo passaggio e quella di partenza del secondo.
      5. - Analogamente, se il viaggiatore prosegue da D a C attraverso il ponte g, indico i tre successivi passaggi con le quattro lettere ABDC.
      Queste quattro lettere significano che il viaggiatore che era inizialmente in A è passato in B, poi in D e infine in C: poiché queste quattro regioni sono separate l'una dall'altra dal fiume, il viaggiatore deve necessariamente aver passato tre ponti.
      Il passaggio di quattro ponti sarà rappresentato con cinque lettere e il passaggio di un numero qualsiasi di ponti sarà rappresentato con un numero di lettere maggiore di uno del numero di ponti.
      Ad esempio, otto lettere sono necessarie per indicare il passaggio di sette ponti.
      6. - Con questo metodo non presto attenzione al ponte che viene usato; ciò significa che se il passaggio da una regione a un'altra può essere fatto per mezzo di più ponti, non importa quale viene usato, purché porti alla regione voluta.
      Così, se ci fosse un cammino attraverso i sette ponti di Königsberg che passasse su ciascun ponte una e una sola volta, dovremmo poterlo descrivere usando otto lettere, e nella successione delle lettere la combinazione AB (o BA) dovrebbe comparire due volte, poiché ci sono due ponti a e b che collegano le regioni A e B; similmente dovrebbe comparire due volte la combinazione AC, mentre le combinazioni AD, BD, CD dovrebbero comparire ciascuna una volta.
      7. - La domanda è ora quella di stabilire se è possibile formare con le quattro lettere A, B, C, D una successione di otto lettere nella quale compaiano tutte le combinazioni ricordate il numero di volte richiesto.
      Tuttavia, prima di fare lo sforzo di tentare di trovare una tale successione, è opportuno vedere se la sua esistenza è teoricamente possibile.
      Infatti, se potesse essere dimostrato che la successione è di fatto impossibile allora ogni sforzo per trovarla sarebbe sprecato.
      Per questo ho pensato a una regola per determinare facilmente se la richiesta successione di lettere è possibile, nel nostro caso e in casi analoghi.
      8. - Per trovare una tal regola, prendo una regione A alla quale si può arrivare attraveso un numero arbitrario di ponti, a, b, c, d, ecc. (fig. 2). Di questi ponti considero dapprima solo a. Se il viaggiatore attraversa questo ponte deve partire da A o arrivare in A, e, in base al modo di indicare i passaggi, la lettera A dovrà comparire esattamente una volta.
      Se ci sono tre ponti a, b, c, che portano ad A e il viaggiatore li attraversa tutti, allora la lettera A dovrà comparire due volte, indipendentemente dal fatto che il viaggiatore parta da A o da un' altra regione.
      E se ci sono cinque ponti che portano ad A, la successione per un cammino che li attraversi tutti una sola volta contiene tre volte la lettera A.
      Se il numero di ponti è dispari, lo si aumenta di uno e si prende la metà della somma: il risultato rappresenta il numero di presenze della lettera A.
      9. - Riprendiamo ora il problema dei ponti di Königsberg (fig. 1).
      Poiché ci sono cinque ponti, a, b, c, d, e, che portano a (e da) l'isola A, la lettera A deve comparire tre volte nella successione che descrive il cammino.
      La lettera B deve comparire due volte, poiché tre ponti portano a B; analogamente, C e D devono comparire ciascuna due volte.
      Questo significa che la successione di otto lettere che rappresenta gli attraversamenti dei sette ponti deve contenere A tre volte, e B, C, D ciascuna due volte: ma questo è impossibile con una successione di otto lettere.
      È quindi evidente che un attraversamento dei sette ponti di Königsberg nel modo richiesto non può essere effettuato.
      10. - Usando questo metodo siamo in grado, quando il numero di ponti che portano in una data regione è dispari, di stabilire se è possibile attraversare in una passeggiata ogni ponte esattamente una volta.
      Una tal passeggiata esiste se il numero dei ponti aumentato di una unità dà la somma dei numeri che indicano quante volte deve comparire ciascuna lettera. [...]
      11. - Quando il numero dei ponti che portano ad A è pari, dobbiamo considerare se il cammino comincia da A o no. [...]
      Nei passi che non riportiamo Eulero sviluppa e generalizza le considerazioni precedenti.
      20. - Così, per ogni configurazione che si può presentare, il modo più semplice per determinare se è possibile attraversare ciascun ponte una sola volta è quello di applicare le seguenti regole.
      Se ci sono più di due regioni alle quali arriva un numero dispari di ponti, non è possibile trovare alcun cammino che soddisfi le condizioni poste.
      Se ci sono solo due regioni alle quali arriva un numero dispari di ponti, il cammino può essere fatto pur di partire da una di queste regioni.
      Se, infine, non ci sono regioni alle quali arriva un numero dispari di ponti, il cammino può essere fatto, indipendentemente dalla regione di partenza.
      Queste regole risolvono completamente il problema proposto inizialmente.
      21. - Dopo aver stabilito che un cammino effettivamente esiste, siamo portati al problema di determinarlo. Per questo scopo serve la regola seguente.
      Quando è possibile, eliminiamo mentalmente le coppie di ponti che collegano le stesse due regioni; questo riduce normalmente il numero di ponti in modo considerevole. Poi, e questo dovrebbe non essere difficile, passiamo a tracciare il cammino richiesto tra i ponti restanti. Il modello di questo cammino, una volta trovato, non sarà sostanzialmente influenzato dal reinserimento dei ponti inizialmente eliminati, come mostra un semplice ragionamento; per questo non penso di dover dire altro sulla determinazione dei cammini.