Aldo Marruccelli TEORIE FORMALIZZATE E LOGICA MATEMATICA Roma, Edizionii Studium, 1975 (copertina: dieter grauer) INDICE 3 I. Teorie deduttive, logica e matematica 3 1. La concezione classica di teoria deduttiva 5 2. La formalizzazione della geometria 7 3. L'aritmetizzazione dell'analisi e il problema dei fondamenti 9 4. Platonismo e logicismo 14 5. Il formalismo 20 6. L'intuizionismo 24 7. Effettivita`, calcolabilita`, decidibilita` 27 - Note 31 II. Le teorie formalizzate 31 1. Le parti di un discorso deduttivo 33 2. La formalizzazione di una teoria deduttiva 35 3. I linguaggi simbolici 38 4. L'apparato deduttivo 40 5. Metateoria: sintassi e semantica 41 6. Significato dei termini categorematici 43 7. Interpretazione degli operatori logici 49 - Note 51 III. Logica degli enunciati 51 1. Logica degli enunciati e logica dei predicati 53 2. Il linguaggio enunciativo 55 3. Il sistema formale CE 57 4. Semantica del sistema formale CE 62 5. Proprieta` metamatematiche di CE 65 IV. Teorie elementari 65 1. Calcoli dei predicati 66 2. Linguaggi predicativi del prim'ordine 70 3. Apparato deduttivo delle teorie elementari 72 4. Esempi di teorie elementari 73 5. Teorema di deduzione 76 6. Regole sussidiarie di inferenza 76 7. Interpretazioni e modelli 82 8. Fbf valide 84 9. Teorie del prim'ordine con identita` 87 1O. Esempi di teorie elementari con identita` 88 11. Alcune interpretazioni del sistema formale OP 90 12. Alcune interpretazioni del sistema formale G 93 - Note 95 V. Proprieta` delle teorie elementari 95 1. Prime definizioni. 96 2. Consistenza dei calcoli elementari 99 3. Completezza sintattica 102 4. n problema della decisione per un sistema formale 104 5. Completezza semantica 106 6. Compattezza 109 7. Teorema di Lowenheim-Skolem 111 8. Interpretazioni isomorfe. Categoricita` 115 - Note 117 VI. La formalizzazione dell'aritmetica 117 1. Aritmetica informale e semiformaIe 119 2. Una teoria formalizzata elementare per l'aritmetica 122 3. Modelli di NI 124 4. Prime proprieta` metamatematicbe di NI 125 5. L'aritmetica di Robinson 126 6. Una teoria formalizzata del second'ordine per l'aritmetica 129 - Note 131 VII. La formalizzzione della sintassi 131 1. Funzioni e relazioni numeriche 133 2. Funzioni e relazioni ricorsive 136 3. Rappresentabilita` in NI e ricorsivita` 138 4. Aritmetizzazione e formalizzazione della sintassi 143 VII. Le limitazioni inerenti alle teorie formalizzate 143 1. Consistenza e w-consistenza 144 2. Incompletezza sintattica di NI 146 3. Teorie sufficientemente potenti 147 4. Altre forme del teorema di incompletezza 149 5. Indimostrabilita` della consistenza 151 6. La funzione diagonale 153 7. Indefinibilita` del concetto di verita` all'interno della teoria 154 8. Indecidibilita` 159 - Note 161 Bibliografia 167 Indice dei simboli principali 171 Indice analitico In che casa la mooderna assiomatica (quel ramo, cioe`, della logica che discute i fondamenti delle scienze deduttive) differisce da quella tradizionale? In una teoria deduttiva c'e` ancora posto per l'intuizione? Quali criteri logici possono garantire che un determinato insieme di assiomi e` adatto alla costruzione di una teoria? E` possibile dimostrare la non contraddittorieta` delle teorie matematiche? A queste e ad altre questioni che si sono presentate e ancor oggi si presentano ai logici e ai matematici che tentano di dare un solido fondamento alle teorie deduttive, e in particolare a quelle matematiche, il volume intende fornire una risposta, alla luce delle piu` recenti acquisizioni; Non si presuppone tuttavia, da parte del lettore, alcuna previa conoscenza di logica matematica. Anzi, allo scopo di rendere l' opera accessibile anche ai lettori non matematici, si riportano le definizioni dei principali enti matematici utilizzati; inoltre l'esposizione delle varie teorie algebriche e` corredata di numerosi esempi e la presentazione dell'assiomatica della teoria dei numeri e` malto dettagliata. Il volume costituisce pertanto una utile introduzione ai problemi della logica matematica e della metamatematica, una guida cioe` ad uno degli ambiti di ricerca verso i quali si manifesta piu` viva, oggi, l'esigenza conoscitiva di quanti coltivano gli studi scientifici e filosofici. Aldo Marruccelli e` docente di analisi matematica e geometria analitica nell'Universita` di Roma. Ha tenuto corsi di metamatematica e logica matematica anche presso la Universita` di Perugia. I suoi principali interessi sano rivolti ai fondamenti delle varie teorie matematiche (algebriche, geometriche ed analitiche) e ai connessi problemi di assiomatica e di logica matematica. E` autore di volumi e di saggi apparsi in riviste specializzate.