Un museo per la matematica
|
Il giardino di Archimede Un museo per la matematica |
SCHEDE DI APPROFONDIMENTO Il teorema di Pitagora nell'estrema antichità Una dimostrazione semplice Un'altra dimostrazione semplicissima Un triangolo non rettangolo Parallelogrammi e trapezi Figure simili La diagonale del quadrato e gli irrazionali Terne pitagoriche I solidi regolari
|
Terne pitagoriche| il
viceversa del teorema di Pitagora | costruzione
di triangoli rettangoli | terne
pitagoriche | il
teorema di Fermat | Una delle tante formulazioni del teorema di Pitagora dice
che se a e b sono i cateti di un triangolo rettangolo e
c è l'ipotenusa, si ha a2 + b2 =
c2.
Il risultato precedente ci dà un metodo molto semplice
per costruire triangoli rettangoli senza bisogno di misurare gli angoli.
Infatti basta trovare tre numeri a, b e c, che verifichino la
relazione a2 + b2 = c2; il
triangolo di lati a, b e c sarà automaticamente rettangolo. Se tre numeri a, b e c verificano la relazione
a2+b2=c2 si dice che formano una
terna pitagorica. Ad esempio 3, 4 e 5 sono una terna pitagorica, ma
non 1, 1 e radice di 2, perché quest'ultimo numero non è intero.
dove m ed n sono due numeri interi, con m>n. Che i numeri a, b e c formano una terna pitagorica, si verifica facilmente. Infatti si ha a2 = (m2 - n2)2 = m4 + n4 - 2m2 n2 e b2 = (2mn)2 = 4 m2 n2 e quindi a2 + b2 = m4 + n4 - 2m2 n2 + 4 m2 n2 = m4 + n4 + 2m2 n2 = (m2 + n2)2 = c2. Più difficile è dimostrare che la formula (1) dà tutte le possibili terne pitagoriche. Ecco come si può fare. Cominciamo con l’osservare che se a, b e c formano una terna pitagorica, lo stesso vale per ha, hb e hc. Ci si può quindi limitare a considerare terne con a e b primi tra loro; tutte le altre si otterranno moltiplicando a, b e c per lo stesso numero. Facciamo ora vedere che a e b devono essere uno pari e uno dispari, e di conseguenza c deve essere dispari. Che a e b non siano ambedue pari dipende dal fatto che sono primi tra loro. Che non possano essere ambedue dispari, è un po’ più delicato. Se a e b fossero dispari, lo sarebbero anche a2 e b2 , cosicché c2 , somma di due numeri dispari, sarebbe pari, e quindi c sarebbe pari. D’altra parte, se a e b sono dispari si deve avere a = 2k+1 e b=2h+1, da cui a2 = (2k+1)2 = 4k2 +4k+1, b2 =4h2 +4h+1 e sommando si ottiene c2 =a2 +b2 = 4(k2 +k+h2 +h) + 2. Da questa formula segue che dividendo c2 per 4 si ottiene il quoziente k2 +k+h2 +h e il resto 2. In particolare, c2 non è divisibile per 4, e questo è assurdo, dato che c è pari. Riassumendo, se a, b e c formano una terna pitagorica, i due numeri a e b devono essere uno pari e uno dispari (ad esempio b pari ed a dispari), e di conseguenza c deve essere dispari. Nella relazione a2 +b2 = c2 portiamo a2 a secondo membro; si ha: b2 = c2 - a2 = (c + a)(c – a). Siccome a e c sono dispari, c+a e c–a sono pari. Se poniamo b=2s, c+a=2x e c–a=2y, avremo s2=xy. Anche x e y sono primi tra loro; infatti se avessero un fattore comune q, anche a = x – y sarebbe divisibile per q, e lo stesso sarebbe vero per b2 , e dunque per b, in contraddizione con l’ipotesi che a e b fossero primi tra loro. Siccome il prodotto xy è un quadrato, x e y sono essi stessi dei quadrati: x=m2 e y=n2 . Si avrà allora in conclusione: a=x–y=m2-n2; c=x+y=m2+n2 e b2=4xy=4m2n2 per cui b = 2mn. La formula (1) è così dimostrata. Dando a m e n successivamente differenti valori, sempre primi tra loro, e uno pari e l’altro dispari, troviamo tutte le possibili terne pitagoriche. Notiamo che quando n = m – 1, si ha anche b = c – 1, cosa che chi legge potrà dimostrare facilmente. Dalla considerazione delle terne pitagoriche, Pierre
Fermat (1601-1665) trasse lo spunto per cercare se fosse possibile trovare
delle terne di numeri interi, tutti diversi da zero, che verificassero la
relazione x3 + y3 = z3 o, più in
generale, xn + yn = zn. Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in
duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei
demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non
caparet. cioè
Non è invece possibile dividere un cubo in due cubi.
Un quadrato-quadrato in due quadrato-quadrati, e in genere nessuna potenza
maggiore di due in due potenze dello stesso ordine. Di questo ho trovato
una bellissima dimostrazione, che però non posso scrivere per la
ristrettezza del margine. Questo risultato, che è stato chiamato
l'ultimo teorema di Fermat, ha stimolato le ricerche di molti tra i
maggiori matematici degli ultimi tre secoli, ed è stato dimostrato
totalmente solo nel 1994 da Andrew Wiles.
|
La dimostrazione è molto semplice. Costruiamo un
triangolo rettangolo con i cateti a e b, e sia d la
sua ipotenusa. Per il teorema di Pitagora si ha d2 =
a2 + b2, mentre per ipotesi a2 +
b2 = c2. Ne deriva che d2 =
c2, dunque d = c, cosicché i due triangoli hanno i
tre lati uguali, e dunque sono uguali. Ma il secondo era per costruzione
un triangolo rettangolo con i cateti a e b, e quindi lo
stesso vale per il primo.