SVILUPPI PIANI DEL TETRAEDRO REGOLARE
(2006-11-28; 2006-12-05)

.1.1   Come accennato in
      >>> rp-svil0,
      nel problema 31 di
      Cento problemi di matematica elementare di H. Steinhaus
      si legge:
      "Un tetraedro regolare ha due sviluppi piani.".
.1.2   In rp-svil0 è detto che sono sottointese tre indicazioni:
      --- si considera (ovviamente) la superficie del tetraedro;
      --- si considerano sviluppi in cui i triangoli "attaccati"
            hanno in comune un lato
            (e non solo un punto, come talvolta si vede fare);
      --- si considerano equivalenti gli sviluppi
            riconducibili l'uno all'altro
            con rotazioni, simmetrie e traslazioni:
            questa indicazione viene data per i cubi nella forma
            "a meno di rotazioni o riflessioni".
.2   Utilizzo come riferimenti le figure di
      >>> rp-svilf
      con le denominazioni di vertici e spigoli di fig. 1.
.3   I due sviluppi ai quali fa riferimento H. Steinhaus
      sono (fig. 2):
      --- il triangolo equilatero;
      --- uno dei due parallelogrammi,
            che possono essere considerati equivalenti (cfr. 1.2).
.4   Per arrivare all'affermazione di H. Steinhaus
      si possono seguire due strade elementari:
      --- ragionare sugli accostamenti di triangoli equilateri
            con un lato in comune:
      --- ragionare sui "tagli" di spigoli di un tetraedro
            per sviluppare sul piano la superficie del tetraedro.
.5   Ragionando sugli accostamenti di triangoli equilateri
      (fig. 3: uno, due, tre, quattro triangoli)
      si riconosce senza difficoltà che sono possibili:
      --- il triangolo equilatero,
            che è l'unico sviluppo possibile
            con tre triangoli "allineati".
      --- le due "strisce" di fig. 2,
            che sono gli unici sviluppi
            possibili con quattro triangoli "allineati",
      NB1 - Non ci sono sviluppi
                 con un numero minore di triangoli "allineati".
      NB2 - Gli altri due accostamenti di fig. 3
               non sono sviluppi.
.6.1   Ragionando sui "tagli", si constata che,
      per ottenere uno sviluppo (nel senso detto),
      occorrono terne di tagli
      e che non tutte le terne di tagli danno sviluppi:
      --- sestuple, cinquine, quaterne di tagli
            staccano inevitabilmente almeno una faccia;
      --- coppie di tagli e tagli singoli non aprono il tetraedro;
      --- gli sviluppi della figura 2 richiedono tre tagli,
            ma ci sono terne di tagli (cicli)
            che staccano una faccia (cfr. 6.2).
.6.2   Tre tagli su sei spigoli si possono fare in 20 modi
      (combinazioni di classe tre di sei elementi),
      con la casistica della tabella 1 e della fig. 4:
      --- quattro delle terne di tagli staccano una faccia,
      --- sei delle terne di tagli danno una striscia
            del primo tipo di figura 2,
      --- sei delle terne di tagli danno una striscia
            del secondo tipo di figura 2,
      --- quattro delle terne di tagli danno un triangolo.
      Chiaramente, il primo caso corrisponde
      a terne di tagli su una stessa faccia,
      l'ultimo a terne di tagli da uno stesso vertice.
.6.3   Si può osservare che, per dare sviluppi,
      (non indipendenti);
      --- completezza,
            cioè toccare tutti e quattro i vertici del tetraedro,
      --- connessione, cioè essere costituite da segmenti
            o consecutivi o da un vertice;
      --- aciclicità, cioè non contenere cicli.