Programma d’esame per Fondamenti e Approfondimenti di Matematica
(6 crediti)
1. Preliminari. Insiemi. Numeri reali. Operazioni
ed ordinamento in R. Insiemi di numeri reali limitati od illimitati.
Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di
numeri reali. Intervalli. Distanza. Funzioni reali di variabile reale, grafico, dominio, immagine. Iniettivita'.
Composizione di funzioni.
Traslazioni. Simmetrie. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni limitate
e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremi superiori ed inferiori di
funzioni. Segno e zeri di una funzione.
Ref: Arg.1 di Matematica
Assistita
2. Funzioni elementari. Modulo. Potenze ad esponente naturale,
intero, razionale e reale. Le funzioni potenza xa e le funzioni esponenziali ax. Le funzioni
logaritmiche. Le funzioni trigonometriche. Disequazioni
algebriche di II grado, razionali fratte, irrazionali, esponenziali,
logaritmiche. Sistemi di disequazioni.
Rif: Arg.2 di Matematica
Assistita
3. Limiti e funzioni continue. Distanza ed intorni,
intorni destri ed intorni
sinistri. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Limiti elementari.
Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Teorema del confronto. Forme
indeterminate. Confronto tra infiniti. Asintoti orizzontali, verticali,
obliqui. Confronto tra infinitesimi. Somma di infinitesimi
di ordine diverso. Infinitesimi principali e trascurabili.
Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema degli zeri. Teorema di
Weierstrass.
Rif: Arg.3,4,5 di Matematica
Assistita
4. Derivate. Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e
derivata sinistra. Retta tangente al grafico. Funzione derivata. Derivate di
funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente,
composta, inversa. Derivabilità e continuità. Punti
di massimo e minimo relativi. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni derivabili con derivata nulla, funzioni
derivabili con uguale derivata, segno della derivata prima ed intervalli
di monotonia della funzione. Ricerca di punti di massimo o
minimo relativo attraverso il segno della derivata. Derivata seconda,
suo segno e convessita'. Studio qualitativo del
grafico di una funzione. Derivate successive. Approssimazione locale di
funzioni con polinomi. Teoremi di De l’Hospital. Polinomio di Taylor di ordine
n e Teorema di Taylor. Uso di Taylor per forme 0/0.
Rif: Arg.6,7 di Matematica
Assistita
5. Integrali. Funzioni primitive (integrali indefiniti). Integrali
elementari. Definizione di integrale definito. Area.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione.
Integrali impropri su intervalli illimitati e per funzioni illimitate.
Criteri di convergenza per integrali impropri.
Rif: Arg.8,9,10 di Matematica
Assistita
6. Equazioni differenziali. Definizioni di equazione
differenziale (in forma normale e non) e di ordine di un’equazione
differenziale. Soluzione e soluzione generale di
un’equazione differenziale.
Equazioni differenziali che descrivono le leggi del moto nel caso del
moto
rettilineo a velocità o accelerazione costante e dell’oscillatore
armonico e le leggi dell'aumento della popolazione e della diffusione
di un'epidemia.
Problemi di Cauchy per equazioni differenziali in
forma normale di ordine 1 e 2. Condizioni iniziali e
soluzioni particolari di un’equazione differenziale assegnata.
Rif:Appunti Prof. Colombo, sezione 9.1 (pag. 191-201) (esclusi gli Esempi
5, 6, 7 e 8) e sezione 9.2 (pag. 201-208) del Villani.
7. Algebra lineare. I vettori definiti con modulo, direzione e verso.
Vettori in Rn .
Matrici a coefficienti reali. Prodotto tra matrici e sue proprietà.
Sistemi lineari in forma matriciale Ax = b. Risoluzione sistemi
metodo Gauss. Rango (o caratteristica di A). Teorema
di Rouché-Capelli.
Determinante di matrici quadrate. Calcolo del rango
con i determinanti mediante il Teorema di Kronecker. Teorema di Cramer.
Risoluzione sistemi con determinante. Inversa di una
matrice quadrata.
Il prodotto scalare e sue proprietà. Norma (o modulo) di un vettore. Vettori
ortogonali.
Prodotto vettoriale in R3.
Rif: Arg. 11A (fino a pag 15), Arg.12 (pag. 1-6, 11,
12) , Arg. 13 (pag.1-5) di Matematica Assistita
Villani, Matematica per discipline bio-mediche, ed. McGraw-Hill,
2007, quarta edizione.
Guerraggio, Matematica, ed. Bruno Mondadori,
2004. (In particolare i capitoli 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16.)
In rete: Progetto Matematica Assistita