Programma d’esame per Fondamenti e Approfondimenti di Matematica

(6 crediti)

1. Preliminari. Insiemi. Numeri reali. Operazioni ed ordinamento in R. Insiemi di numeri reali limitati od illimitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Intervalli. Distanza. Funzioni reali di variabile reale, grafico, dominio, immagine. Iniettivita'. Composizione di funzioni.
Traslazioni. Simmetrie. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremi superiori ed inferiori di funzioni. Segno e zeri di una funzione.
Ref: Arg.1 di Matematica Assistita

2. Funzioni elementari. Modulo. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale. Le funzioni potenza xa e le funzioni esponenziali ax. Le funzioni logaritmiche. Le funzioni trigonometriche. Disequazioni algebriche di II grado, razionali fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche. Sistemi di disequazioni.
Rif: Arg.2 di Matematica Assistita

3. Limiti e funzioni continue. Distanza ed intorni, intorni destri ed intorni sinistri. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Limiti elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Teorema del confronto. Forme indeterminate. Confronto tra infiniti. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Confronto tra infinitesimi. Somma di infinitesimi di ordine diverso. Infinitesimi principali e trascurabili.
Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass.
Rif: Arg.3,4,5 di Matematica Assistita

4. Derivate. Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Retta tangente al grafico. Funzione derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, composta, inversa. Derivabilità e continuità. Punti di massimo e minimo relativi. Teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni derivabili con derivata nulla, funzioni derivabili con uguale derivata, segno della derivata prima ed intervalli di monotonia della funzione. Ricerca di punti di massimo o minimo relativo attraverso il segno della derivata. Derivata seconda, suo segno e convessita'. Studio qualitativo del grafico di una funzione. Derivate successive. Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teoremi di De l’Hospital. Polinomio di Taylor di ordine n e Teorema di Taylor. Uso di Taylor per forme 0/0.
Rif: Arg.6,7 di Matematica Assistita

5. Integrali. Funzioni primitive (integrali indefiniti). Integrali elementari. Definizione di integrale definito. Area. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione.
Integrali impropri su intervalli illimitati e per funzioni illimitate. Criteri di convergenza per integrali impropri.
Rif: Arg.8,9,10 di Matematica Assistita

6. Equazioni differenziali. Definizioni di equazione differenziale (in forma normale e non) e di ordine di un’equazione differenziale. Soluzione e soluzione generale di un’equazione differenziale.
Equazioni differenziali che descrivono le leggi del moto nel caso del moto rettilineo a velocità o accelerazione costante e dell’oscillatore armonico e le leggi dell'aumento della popolazione e della diffusione di un'epidemia.
Problemi di Cauchy per equazioni differenziali in forma normale di ordine 1 e 2. Condizioni iniziali e soluzioni particolari di un’equazione differenziale assegnata.
Rif:Appunti Prof. Colombo,  sezione 9.1 (pag. 191-201) (esclusi gli Esempi 5, 6, 7 e 8) e sezione 9.2 (pag. 201-208) del Villani.

7. Algebra lineare. I vettori definiti con modulo, direzione e verso. Vettori in Rn . Matrici a coefficienti reali. Prodotto tra matrici e sue proprietà.
Sistemi lineari in forma matriciale Ax = b. Risoluzione sistemi metodo Gauss. Rango (o caratteristica di A). Teorema di Rouché-Capelli.
Determinante di matrici quadrate. Calcolo del rango con i determinanti mediante il Teorema di Kronecker. Teorema di Cramer. Risoluzione sistemi con determinante. Inversa di una matrice quadrata.

Il prodotto scalare e sue proprietà. Norma (o modulo) di un vettore. Vettori ortogonali.
Prodotto vettoriale in R3.
Rif: Arg. 11A (fino a pag 15), Arg.12 (pag. 1-6, 11, 12) , Arg. 13 (pag.1-5) di Matematica Assistita
 

Villani, Matematica per discipline bio-mediche, ed. McGraw-Hill, 2007, quarta edizione.
Guerraggio, Matematica, ed. Bruno Mondadori, 2004.  (In particolare i capitoli 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13,  15, 16.)
In rete:  Progetto Matematica Assistita