Calcolo Numerico I

Corso di Laurea in Matematica


Dipartimento di Matematica - “F. Enriques”

Università degli studi di Milano



Ultimo Aggiornamento 15/10/2011



Avvisi

Sono state stabilite le date per gli appelli fino al mese di Settembre 2012.


Organizzazione del Corso

Il Corso di Calcolo Numerico I (9 CFU) è suddivisi secondo la seguente tipologia didattica:


- Lezioni (36 ore): Turno unico (Naldi Giovanni)

- Esercitazioni in aula (33 ore): Turno unico (Elena Zampieri)

- Esercitazioni in laboratorio informatico (24 ore): Gruppi 1 e 2 (Paola Causin) - Settore Didattico di via Celoria, Laboratorio Informatico 309

Gli studenti sono suddivisi secondo l'ordine alfabetico:

Gruppo 1 (A-K): martedì dalle 11.30 alle 13.30

Gruppo 2: (L-Z) mercoledì dalle 11.30 alle 13.30

Per informazioni su variazioni di orario, ricevimento studenti, materiale didattico relativo alle esercitazioni in laboratorio informatico, si veda il sito web della dott.ssa Paola Causin.

Finalità del Corso

Obiettivo del corso è quello di fornire agli studenti le basi del Calcolo Numerico e dell'Analisi Numerica. In particolare si introdurranno e studieranno metodi e algoritmi di base per la risoluzione di alcuni problemi matematici tra i quali: l'interpolazione di dati e funzioni, la risoluzione di sistemi lineari, il calcolo degli zeri di funzioni non lineari, il calcolo approssimato degli integrali definiti, l'approssimazione di autovalori. Di fondamentale importanza è l'approccio pratico a tali algoritmi che avverrà tramite l'implementazione dei suddetti algoritmi utilizzando il software MATLAB ©.

Prerequisiti

Corsi in cui si apprendono i seguenti argomenti: Numeri reali e complessi. Polinomi. Vettori e matrici. Limiti, derivate e integrali. Studio di funzioni con dominio 1D e 2D. Successioni numeriche.


Programma del Corso

Introduzione al corso. Scopo del Calcolo Numerico. Generazione e propagazione degli errori in un processo di calcolo. Condizionamento e stabilità nei problemi matematici, numerici e negli algoritmi. Rappresentazione dei numeri sul calcolatore. Esempi dal Calcolo Scientifico.

Interpolazione e approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione polinomiale: forma di Lagrange, forma fi Newton. Aspetti algoritmici. Stima dell'errore di interpolazione. Interpolazione nei nodi di Chebyshev. Splines lineari e cubiche. Approssimazione di dati nel senso dei minimi quadrati.

Integrazione numerica. Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes. Errore di quadratura e grado di precisione. Formule di quadratura composite. Formule Gaussiane.

Risoluzione numerica di equazioni non lineari. Metodi di base: bisezione, secanti, Newton. Iterazioni di punto fisso. Analisi di convergenza. Test d’arresto.

Risoluzione numerica di sistemi lineari. Analisi dell’errore e condizionamento di un sistema lineare. A) Metodi diretti. Sistemi triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LU. Pivoting. Altre fattorizzazioni. B) Metodi iterativi. Metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Richardson. Splitting. Convergenza e criteri di arresto.

Approssimazione numerica di autovalori e autovettori. Localizzazione (Teoremi di Gershgorin). Il metodo delle potenze.



Bibliografia


V. Comincioli:
Analisi numerica: metodi, modelli, applicazioni.(disponibile anche nella versione eBook)
Milano, McGraw-Hill Libri Italia 2005.

G. Naldi, L. Pareschi:
MATLAB Concetti e progetti
Milano, Apogeo 2002.


Materiale didattico e diario delle LEZIONI

Dispensa di Calcolo Numerico (Prof.ssa Elenza Zampieri), LEGGI prima la premessa.

MATLAB "Introduzione all'uso di MATLAB per il Calcolo Scientifico", Quaderno di Dipartimento n. 29/R, Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano (2000). [Parte1][Parte2] [Parte3], P. Causin, S. Micheletti, R. Sacco



Lezioni, giovedì 9.30-12.30 (3 ore) Aula Chisini

DATA

ARGOMENTO DELLA LEZIONE

MATERIALE DIDATTICO

6/10/2012 - 2 ore

Introduzione al corso. Scopo del Calcolo Numerico. Problema fisico, matematico, numerico. Esempi: Algoritmo di Erone per il calcolo di 2, necessità calcolo numerico di integrali (conseguenza Teorema di Liouville), inefficienza calcolo dei determinanti con sviluppo di Laplace. Introduzione al problema dell'interpolazione. Determinante di Vandermonde, relazione tra unicità ed esistenza per problemi lineari, polinomi di Lagrange.

Per Teorema di Liouville si può vedere il libro di G.H, Hardy, “THE INTEGRATION OF FUNCTIONS OF A SINGLE VARIABLE”, Cambridge, 1928.

13/10/2012 - 3 ore

Polinomio interpolante nella forma di Newton, cambiamento di base nello spazio (vettoriale) dei polinomi, matrice di interpolazione.

Differenze divise f[xi,...,xm], relazione di ricorrenza per il calcolo delle differenze divise, tabella delle differenze divise (esempio fatto quattro punti).

Errore di interpolazione, Teorema di approssimazione di Weirstrass, controesempio di Runge.

Si veda Cap.3 . Approssimazione di funzioni del libro AN di V. Comincioli

20/10/2012 - 3 ore

Breve analisi componenti errore di interpolazione. Introduzione allo spazio delle funzioni polinomiali a tratti, funzioni spline.

Spline lineare interpolante, costruzione di una base, stima dell'errore. Spline cubiche.

Un corso sulle spline (prof. S. De Marchi, Università degli studi di Udine)

Spline ed altro” (Prof.ssa M. Morandi Cecchi, Università degli studi di Padova)

25/10/2010 - 1 ora

Introduzione all'approssimazione (best fitting), impostazione del problema, tre interpreti: 1) Dati, 2) Modello, 3) misura dei residui. Ipotesi: dato = modello+errore. Norme di vettori.

Appunti su spazi vettoriali normati del Prof. A. Bellen (Università degli studi di Trieste)

Per un forte approfondimento,

le note del Prof. Carl de Boor (Emeritus, University of Wisconsin - Madison )

3/11/2011 - 3 ore



10/11/2011 - 3 ore




































































































Modalità dell'esame

VEDI pagina Prof.ssa E. Zampieri---> modalità d'esame

Date degli appelli

SCRITTO

NOTE

2 Febbraio 2012 (mattina)


16 Febbraio 2012 (mattina)


26 Aprile 2012 (pomeriggio


19 Giugno 2012 (mattina)


12 Luglio 2012 (mattina)


18 Settembre 2012 (mattina)