Facolta’ di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali dell’Universita’
degli Studi di Milano
CORSO di LAUREA in SCIENZE BIOLOGICHE (Laurea Triennale Riordinata F62)
Insegnamento di “MATEMATICA GENERALE, LABORATORIO di METODI MATEMATICI e STATISTICI, LABORATORIO di INFORMATICA”.
PROGRAMMA del MODULO di MATEMATICA GENERALE
Insiemi, numeri e funzioni.
Richiami di logica elementare e teoria degli insiemi. I numeri: interi, razionali, reali. Richiami di calcolo combinatorio. Il binomio di Newton. Il principio di induzione).. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore di un insieme. Il concetto intuitivo di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
Matrici e determinanti
Matrici. Operazioni con le matrici. Determinante di una matrice quadrata. Matrici inverse. Rango (caratteristica) di una matrice.
Sistemi lineari
Definizioni. I teoremi di Cramer (e di Rouche-Capelli).
Funzioni reali
Il piano cartesiano. Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni composte. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Equazioni della retta. Funzione valore assoluto. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente) e le loro inverse..
Limiti
Definizioni e prime proprietà. Teorema di unicità del limite. Operazioni con i limiti. Teorema della permanenza del segno e suoi corollari; teorema “dei carabinieri”. Altre proprietà dei limiti. Limiti delle funzioni elementari. Alcuni limiti notevoli, Forme indeterminate. Le successioni Il numero e. Limiti notevoli che si deducono dalla definizione del numero e. Infiniti e infnitesimi. Il simbolo o. Il simbolo ~ di equivalenza asintotica. Le serie (cenni).
Funzioni continue
Definizioni. Discontinuità. Alcuni teoremi sulle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema dell’esistenza degli zeri e applicazioni. Classificazione dei punti di discontinuita’ e di singolarota’.
Derivate
Significato meccanico della derivata. Definizione di derivata; interpretazione geometrica del concetto di derivata. Retta tangente. Il concetto di differenziale. Derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore.
Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. I teoremi di Rolle e di Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti. Convessità. La regola di de l’Hôpital. La formula di Taylor. Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di una funzione.
Integrali indefiniti
Primitive. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Integrali definiti
Definizione e interpretazione geometrica. Le proprieta’ dell’integrale definito. teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale (Torriclelli-Barrow) del calcolo integrale. Calcolo di aree di figure piane. Gli integrali impropri.
Testi di riferimento
1. Angelo Guerraggio, Matematica (seconda edizione), Pearson, 2009.
2. Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Calcolo, Liguori Editore, 2002.
.
Eserciziari consigliati
1. Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Esercitazioni di Matematica, 1° Volume, parte prima e parte seconda, Liguori Editore, 1995
2. Dispense online di Matematica Assistita reperibili all’indirizzo http://ariel.unimi.it/User/.
Ulteriori
riferimenti bibliografici
1. Dario Benedetto, Mirko Degli Esposti, Carlotta Maffei, Matematica per le Scienze della Vita, Casa Editrice Ambrosiana, 2008.
2. Vinicio Villani, Matematica per Discipline Bio-mediche, McGraw-Hill, 2007.
3. Marco Abate, Matematica e Statistica, McGraw-Hill, 2009.
4. George B. Thomas e Ross L. Finney, Elementi di Analisi matematica e Geometria analitica, N. Zanichelli editore, 1993.
5. Giovanni Prodi, Istituzioni di Matematica, McGraw-Hill, 1994.
*************************
Informazioni generali riguardanti il Modulo di
Matematica Generale
(Docenti. A-D: Alfonso Tortora con Ottavio Rizzo; E-Pa: Stefano Paveri-Fontana; Pe-Z: Andrea Carati con Anna Gori)
Temi d’esame degli anni scorsi si trovano per il momento nel sito:
http://users.mat.unimi.it/users/mistrang/
Prove d’esame del modulo: esercizi scritti (“scritto”) e interrogazione teorica scritta.
Sono previsti due “scritti” nella sessione di gennaio-febbraio; tre nella sessione di giugno-luglio, due in settembre. Sono inoltre previsti due “compitini” facoltativi di esonero dallo “scritto”, di cui il primo fra il 15 ed il 30 novembre, ed il secondo in concomitanza con gli “scritti” di gennaio-febbraio. Per l’ammissione al secondo “compitino” sono richiesti almeno 15 punti nel primo “compitino”. La durata degli “scritti” e’ di circa due o tre ore. Durante gli “scritti” ed i “compitini” e’ ammessa la consultazione di libri ed appunti, ma non l’utilizzazione di strumentazione elettronica. Nelle stesse giornate degli “scritti” si svolgono inoltre le “interrogazioni scritte teoriche” della durata di un’ora circa, durante le quali non e’ ammessa ne’ la consultazione di libri ed appunti ne’ l’utilizzazione di strumentazione elettronica.
Limitatamente alla sezione E-Pa gli studenti possono separare lo “scritto” dalla “interrogazione scritta teorica”. Le due prove devono pero’ essere sostenute e superate nella medesima sessione (cioe’ in gennaio-febbraio; oppure in giugno-luglio, oppure in settembre).
Il modulo di Matematica Generale costituisce parte dell’insegnamento di “MATEMATICA GENERALE, LABORATORIO DI METODI MATEMATICI E STATISTICI E LABORATORIO DI INFORMATICA” del valore complessivo di 12 cfu (crediti). Questi 12 cfu vengono acquisiti solo dopo avere superato le prove relative ai tre moduli e dopo che e’ stata effettuata la verbalizzazione del punteggio complessivo. In linea di massima, per gli studenti che hanno superato le prove dei tre moduli, le verbalizzazioni si svolgono nelle aule e con l’orario di svolgimento degli esami scritti del Modulo di Matematica Generale. Attenzione: le procedure informatiche di verbalizzazione richiedono che chi vuole far verbalizzare il suo voto complessivo debba iscriversi al SIFA.
Informazioni riguardanti
Docente della sezione E-Pa: Prof.
Stefano Paveri-Fontana
Studio 1007, I piano,
Dipartimento. di Matematica, Via Saldini 50, 20133 Milano
Consultazione: mercoledi’ ore 9.30-11.30 o per appuntamento via e-mail (si prega di non telefonare).
e-mail: stefano.paverifontana@unimi.it
Testi degli “scritti” d’esame del
periodo 2000-2011 si trovano in